Sujet
ABC est un triangle ayant trois angles aigus. \(P\) est un point intérieur à ce triangle qui se projette orthogonalement sur les côtés \([\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}]\) et \([\mathrm{CA}]\) respectivement en \(\mathrm{D}, \mathrm{E}\) et F .
A l'extérieur du triangle on construit alors six carrés comme sur la figure.
- Montrer que l'aire des carrés « grisés» est égale à celle des carrés hachurés.
- Démontrer que \(A F^{2}+F C^{2}=\frac{1}{2}\left[A C^{2}+(A F-F C)^{2}\right]\)
3 . Où doit se trouver le point P pour que la somme des aires des carrés hachurés soit minimale.
4. L'objet de cette question est de déterminer les mesures \(a, b\) et \(c\) des côtés du triangle ABC sachant que ce sont des entiers naturels vérifiant \(0
à la question 3 est égal à 2014.
a) Justifier que le triplet \((a, b, c)\) est solution du système (S) \(\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z^{2}=8056 \\ 1 \leqslant x \leqslant 51 \\ x \leqslant z \leqslant 89\end{array}\right.\)
b) Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche les solutions du système (S).
Variables : X, Y, Z sont des entiers naturels
Traitement :Pour X allant de 1 à 51
Pour Z allant de X à 89
...
...
Fin de boucle Pour
Fin de boucle Pour
Fin d'algorithme
c) Démontrer que \(a^{2}+b^{2}>c^{2}\) et en déduire les mesures des côtés du triangle ABC .
- \(A D^{2}=P A^{2}-P D^{2} ; C F^{2}=P C^{2}-P F^{2} ; B E^{2}=P B^{2}-P E^{2} ; E C^{2}=P C^{2}-P E^{2} ; D B^{2}= P B^{2}-P D^{2} ; F A^{2}=P A^{2}-P F^{2}\).
Donc \(A F^{2}+C E^{2}+B D^{2}=F C^{2}+B E^{2}+D A^{2}\). - \(A C^{2}+(A F-F C)^{2}=(A F+F C)^{2}+(A F-F C)^{2}=2 A F^{2}+2 F C^{2}\)
Donc \(A F^{2}+F C^{2}=\frac{1}{2}\left[A C^{2}+(A F-F C)^{2}\right]\)