Sujet
On déplace un pion sur une grille rectangulaire.
On appelle marche d'Olympe une suite de déplacements horizontaux (de gauche à droite ou de droite à gauche) et verticaux (du haut vers le bas ou du bas vers le haut) de sorte que chaque case soit atteinte au maximum une fois. De plus, une marche d'Olympe commence toujours au coin inférieur gauche et se termine toujours au coin supérieur gauche de la grille.
Par exemple le chemin ci-dessous est une marche d'Olympe dans une grille qui comporte 5 lignes et 4 colonnes :
- Combien y a-t-il de marches d'Olympe dans une grille qui ne comporte qu'une seule colonne?
- Déterminer le nombre de marches d'Olympe dans une grille qui comporte deux lignes et deux colonnes.
Dans toute la suite, \(n\) étant un entier naturel strictement positif, on considère une grille qui comporte trois lignes et \(n\) colonnes. On note \(u_{n}\) le nombre de marches d'Olympe dans une telle grille.
3. Dans cette question, \(n=2\).
On considère donc la grille ci-contre, dans laquelle on a numéroté les cases.
Calculer \(u_{2}\), nombre de marches d'Olympe dans cette grille.
On pourra s'aider d'un arbre.
| E | F |
| C | D |
| A | B |
- Dans cette question, \(n=3\).
On considère donc la grille ci-contre, dans laquelle on a numéroté les cases.
Calculer \(u_{3}\), nombre de marches d'Olympe dans cette grille.
| G | H | I |
| D | E | F |
| A | B | C |
On se place désormais dans le cas général. \(n\) désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1 .
On admet que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , on a la relation :
\[ u_{n+2}=2+2 u_{n+1}+u_{n} \tag{1} \]
- a) Vérifier que la formule donnant \(u_{n}\) est compatible avec les résultats précédents.
b) Calculer \(u_{4}\).
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