Sujet
La région Franche-Comté envisage l'organisation d'un tremplin musical pour des groupes de rock. Le principe consiste à faire concourir deux groupes face à face lors d'une soirée concert, un «battle» musical. Les présélections se font sur dossier.
Partie A : Étude de quelques exemples
- On suppose dans cette question que quatre groupes, notés \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D sont présélectionnés. On suppose aussi que chaque groupe rencontre les trois autres.
On représente la situation à l'aide d'un graphe. Un graphe est composé de sommets et d'arêtes reliant ces sommets. Les sommets représentent ici les groupes et une arête matérialise le fait qu'une rencontre aura lieu entre les deux groupes qu'elle relie.
a) Compléter le graphe ci-dessous.
b) Quel est le nombre total d'arêtes de ce graphe? Combien y aura-t-il de rencontres? - On suppose cette fois que cinq groupes ont été présélectionnés : A, B, C, D et E. On suppose toujours que chaque groupe rencontre tous les autres.
Représenter cette situation par un graphe et déterminer le nombre de rencontres qui auront lieu. - Devant le succès rencontré, les organisateurs décident d'augmenter le nombre de groupes présélectionnés. Mais les contraintes de temps ne permettent plus à chaque groupe de rencontrer tous les autres.
a) Montrer qu'il est possible d'organiser un tremplin avec six groupes \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\) de sorte que chacun joue quatre fois exactement et dessiner le graphe correspondant. Combien y aura-t-il de rencontres en tout?
b) Peut-on organiser un tremplin avec sept groupes jouant chacun quatre fois? Justifier la réponse.
c) Essayer d'envisager un tremplin avec sept groupes jouant chacun cinq fois. Que remarque-t-on? - Le lemme des poignées de mains
On appelle degré d'un sommet le nombre d'arêtes ayant ce sommet pour extrémité.
Par exemple, dans le graphe de la question 1, le sommet A a pour degré 3.
a) Pour chacun des graphes des questions 1,2 et 3 , donner le nombre total d'arêtes et calculer la somme des degrés des sommets de chacun d'eux.
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