Exercice 3 — La machine de Norman

Sujet

Norman a inventé une machine à transformer les nombres. Cette machine ne reconnaît que les nombres entiers positifs dont l'écriture ne comporte aucun zéro.
Si M et N sont deux nombres entiers positifs, on note MN le nombre obtenu en écrivant dans l'ordre d'abord les chiffres de l'écriture de M , puis à la suite ceux de l'écriture de N .
Ainsi, si M désigne 28 et N désigne le nombre 473, alors MN représente le nombre 28473.
Par ailleurs, les nombres de la forme X2X jouant par la suite un rôle particulier, Leonard a appelé le nombre X2X l'associé de X.
Ainsi, l'associé de 3 est 323 et l'associé du nombre 528 est 5282528.
La machine fonctionne uniquement avec une certaine catégorie de nombres qui sont appelés les nombres acceptables.
Lorsque l'on introduit un nombre X acceptable dans la machine, il en ressort un certain nombre Y . On dit alors que X donne Y.
La machine fonctionne en obéissant à deux règles :
Règle 1 : Pour tout nombre \(X\), le nombre noté \(2 X\), formé du chiffre 2 suivi des chiffres de \(X\), est acceptable et il donne \(X\).

Par exemple, 253 donne 53 , et 25674 donne 5674.
Règle 2 : Si \(X\) est un nombre acceptable qui donne \(Y\), alors \(3 X\) est acceptable et il donne l'associé de \(Y\).
Par exemple, d'après la première règle, 27 est acceptable et donne 7 . Ainsi, par la seconde règle, 327 est acceptable et donne 727.

1. En utilisant la même méthode, trouver ce que donne 2586 , puis 32586 .
2. En déduire ce que donne un nombre de la forme \(32 X\).
3. Montrer que 3327 donne 7272727 .
4. Que donne 33327 ? Que donne 333259 ?
5. J'entre un nombre dans la machine. Il en ressort 48248248248248 . Quel nombre ai-je entré?
6. Que donne 33... 332X, si l'on suppose qu'il y a \(n\) fois le chiffre 3? (On pourra commencer par étudier les cas \(n=1, n=2, n=3, \ldots\) )

Tous les nombres acceptables commencent par 2 ou 3, mais il existe certains nombres commençant par 2 ou 3 qui ne sont pas acceptables. Par exemple, 2 ne l'est pas, mais c'est le seul nombre commençant par 2 à ne pas l'être. Un nombre qui s'écrit comme une succession de 3 n'est pas acceptable non plus, pas plus que 32 , ou 332 , ou une succession de 3 suivie de 2 .
En revanche, quel que soit X , les nombres \(2 \mathrm{X}, 32 \mathrm{X}, 332 \mathrm{X}\), et plus généralement une succession de 3 suivie de 2 X avec X quelconque, sont acceptables. Ce sont les seuls.
7. Il existe un seul nombre qui se donne lui-même. Quel est ce nombre? Expliquer.
8. Peut-on trouver un nombre N qui donne 7 N ?