Olympiades · Académie Amiens · 2014 · Série S
InégalitésSuites
On suppose qu'une fonction \(f\) définie sur l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) et à valeurs dans \(\mathbb{N}\) vérifie la propriété \((\mathrm{P})\) :
\[ f(m+n)=f(m)+f(f(n)) \text { pour tout } m \text { de } \mathbb{N} \text { et tout } n \text { de } \mathbb{N} \text {. } \]
En déduire la valeur de \(f(0)\).
2. Montrer que : \(f(f(n))=f(n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
3. Exprimer \(f(m+1)\) en fonction de \(f(m)\) et de \(f(1)\).
4. Montrer que : \(f(m)=m f(1)\) pour tout \(m\) de \(\mathbb{N}\)
5. Déterminer toutes les fonctions \(f\) vérifiant la propriété \((\mathrm{P})\).
\[ \begin{aligned} f(0+0) & =f(0)+f(f(0)) \\ f(0) & =f(0)+f(f(0)) \\ f(0)-f(0) & =f(f(0)) \\ f(f(0)) & =0 \end{aligned} \]
En posant \(m=0\) et \(n=f(0)\), on obtient :
\[ \begin{aligned} f(0+f(0)) & =f(0)+f(f(f(0))) \\ f(f(0)) & =f(0)+f(0) \\ 0 & =2 f(0) \\ f(0) & =0 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f(0+n) & =f(0)+f(f(n)) \\ f(n) & =0+f(f(n)) \\ f(f(n)) & =f(n) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & f(m+1)=f(m)+f(f(1)) \\ & f(m+1)=f(m)+f(1) \end{aligned} \]