Exercice 1

\[ 4+\frac{1}{b+4}<\sqrt{17}<4+\frac{1}{a+4} \tag{2} \]

b) Calculer l'amplitude de l'encadrement (2) et montrer que cette amplitude ne dépasse pas \(\frac{1}{64}(b-a)\).
c) Interpréter ce résultat en termes de précision des encadrements (1) et (2).
3. Application :

On considère l'encadrement \(4<\sqrt{17}<5 \quad\) (étape 0 )
a) Déterminer, à l'aide de (2), un nouvel encadrement rationnel de \(\sqrt{17}\) (étape 1), et donner l'amplitude de cet encadrement.
b) A l'aide de l'encadrement obtenu à l'étape 1 et de (2), donner un nouvel encadrement de \(\sqrt{17}\) (étape 2).
c) Continuer jusqu'à l'étape 3.

Quelle est l'amplitude de l'encadrement obtenu?
4. On souhaite obtenir un encadrement de \(\sqrt{17}\) d'amplitude inférieure ou égale à \(10^{-9}\) à l'aide du procédé décrit ci-dessus pour toutes valeurs de \(a\) et \(b\) choisies vérifiant les conditions du 2 ).
Pour cela, on souhaite réaliser un algorithme qui enchaîne les étapes jusqu'à la précision exigée sur l'amplitude.
a) Que réalise l'algorithme suivant :

Saisir A, B
C prend la valeur de A
A prend la valeur de B
B prend la valeur de C
Afficher A et B

b) Compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde à la question 4

Saisir A,B
E = B - A # On utilisera E pour l'amplitude de l'encadrement
N=0 # On utilisera N pour numéroter les étapes
...
Afficher A, B, E, N