Sujet
Lors de la construction de l'hôtel de luxe l'Olympe, on demande à un carreleur d'orner la mosaïque suivante avec 328 petits carreaux (carrés) de telle façon que :
- tous les carreaux doivent être utilisés sans être cassés/coupés et doivent recouvrir complètement la partie grisée;
- les bordures intérieures et extérieures forment deux carrés de même centre et de bords parallèles. Les côtés de chacun de ces deux carrés sont donc constitués d'un nombre entier de carreaux.
L'objectif de cette partie est de déterminer les dimensions des carrés qui délimitent la mosaïque. Notons \(n\) et \(n+h\) les nombres de carreaux qui ornent respectivement un côté du carré intérieur et un côté du carré extérieur.
- Montrer que \(h(2 n+h)=328\).
- \(328=1 \times 328\). Donner trois autres décompositions de 328 comme produit de deux nombres entiers (on admettra qu'il n'y en pas d'autres).
- Donner toutes les valeurs possibles de \(n\) et \(h\) permettant de carreler cette mosaïque avec 328 carreaux, sans les couper.
- Le nombre de carreaux recouvrant la partie grisée est égal à :
\((n+h)^{2}-n^{2}=n^{2}+2 n h+h^{2}-n^{2}=2 n h+h^{2}=h(2 n+h)\).
On a donc \(h(2 n+h)=328\). - À l'ordre près des facteurs, \(328=1 \times 328=2 \times 164=4 \times 82=8 \times 41\).
- \(2 n+h\) étant supérieur à \(h, n\) et \(h\) peuvent donc être, a priori, solution des seuls systèmes :
\[ \left\{\begin{array}{l} 2 n+h=328 \\ h=1 \end{array} \quad ; \quad\left\{\begin{array}{l} 2 n+h=164 \\ h=2 \end{array} \quad ; \quad\left\{\begin{array} { l } { 2 n + h = 8 2 } \\ { h = 4 } \end{array} \quad \text { et } \quad \left\{\begin{array}{l} 2 n+h=41 \\ h=8 \end{array}\right.\right.\right.\right. \]
Dont les solutions sont :
\[ \left\{\begin{array}{l} n=163,5 \\ h=1 \end{array} ;\left\{\begin{array}{l} n=81 \\ h=2 \end{array} ;\left\{\begin{array} { l } { n = 3 9 } \\ { h = 4 } \end{array} \text { et } \left\{\begin{array}{l} n=16,5 \\ h=8 \end{array}\right.\right.\right.\right. \]
\(n\) et \(h\) étant entiers, les valeurs possibles de ( \(n ; h\) ) sont ( \(81 ; 2\) ) et ( \(39 ; 4\) ).