Olympiades · Académie Versailles · 2013 · Toutes séries
ArithmétiqueÉquations / Fonctions
On écrit à la suite 2013 chiffres non nuls de telle sorte que, chaque fois qu'on considère deux termes consécutifs, le nombre de deux chiffres qu'ils forment est un multiple de 17 ou un multiple de 23 .
Un début possible serait par exemple : \(3468 \ldots\), car 34 est un multiple de 17 , 46 un multiple de 23 et 68 un multiple de 17.
Quels peuvent être les cinq derniers chiffres de la suite?
Les multiples de 17 non nuls et inférieurs à 99 sont : \(17,34,51,68,85\).
Les multiples de 23 non nuls et inférieurs à 99 sont : \(23,46,69,92\).
La suite ne peut commencer par 1, car aucun des nombres ci-dessus ne commence par 7.
La suite ne peut commencer par 5 , car après 51 vient \(17 \ldots\)
La suite ne peut commencer par 7.
La suite ne peut commencer par 8 , car après 85 viennent 51 et 17 .
Si la suite commence par 6, elle ne peut se poursuivre par 8, compte tenu de ce qui précède.
La suite commençant par 6 et qui ne s'arrête pas est périodique : \(6,9,2,3,4,6\), etc.
Il en est de même de la suite commençant par \(2: 2,3,4,6,9,2\), etc.
Il en est de même de la suite commençant par \(3: 3,4,6,9,2,3\), etc.
Et de celle commençant pat \(4: 4,6,9,2,3,4\), etc.
Et de celle commençant par \(9: 9,2,3,4,6,9\), etc.
Chacune des suites possibles a une période de 5 termes. Le \(2011{ }^{\text {ème }}\) terme est donc égal au premier, et on pourrait associer les \(2012^{\text {ème }}\) et \(2013^{\text {ème }}\) aux deuxième et troisième, le quatrième étant le \(2009^{\text {ème }}\) et le cinquième le \(2010^{\text {ème }}\).
Mais comme il y a cinq suites possibles, toute permutation circulaire de \(6,9,2,3,4\) est possible.