Sujet
Une unité de longueur est donnée dans le plan. On considère un carré ABCD de côté 1 . Deux points E et F appartenant au côté [CD] sont tels que les demi-droites [AE) et [BF) sont sécantes en un point M situé dans le demi-plan de frontière (CD) qui ne contient pas A. L'aire du triangle EFM est \(\frac{2}{3}\).
[0pt]
Quelle est la longueur du segment [EF] ?
Appelons H le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur (EF) et K le point d'intersection de cette perpendiculaire avec (AB).
L'aire du triangle MEF est \(\frac{2}{3}: \frac{1}{2} \times M H \times E F=\frac{2}{3}\).
D'autre part, le triangle MAB est un agrandissement du triangle MEF (si on préfère, on utilise les triangles MEF et MAB, en situation de Thalès et les triangles MEH et MAK, en situation de Thalès).
D'où l'égalité des rapports : \(\frac{E F}{A B}=\frac{M H}{M K}\), qui peut encore être écrite \(E F=\frac{M H}{M H+1}\).
En remplaçant MH par \(\frac{4}{3 E F}\), on obtient : \(E F \times(4+3 E F)=4\).
Cette équation s'écrit : \(\left(E F+\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{16}{9}=0\). Sa solution positive est \(\frac{2}{3}\).