Exercice 4 — Énoncé — Olympiades 2013 Versailles

Sujet

On dispose de 5 morceaux de papier.
On choisit un ou plusieurs de ces papiers, et on découpe chacun d'eux en 5 nouveaux morceaux. On obtient ainsi un nouvel ensemble de morceaux de papier (ceux qui n'ont été découpés et ceux produits par la découpe).
On recommence l'opération (choix d'au moins un papier, découpe en 5 des papiers choisis, rassemblement) autant de fois qu'on veut.

Peut-on obtenir 17 morceaux de papier?
Peut-on obtenir 33 morceaux de papier?
Peut-on obtenir 2013 morceaux de papier?

Pour obtenir 17 papiers, il suffit de découper en 5 trois de ces papiers.
Pour obtenir 33 papiers, il faudrait en avoir eu 29 et en avoir découpé un, ou 25 et découpé deux, ou 21 et découpé trois, ou 17 et découpé quatre, ou 13 et découpé cinq, ou 9 et découpé 6 . On peut se ramener à 9 , car 29 est accessible à partir de 25 ou 21 ou 17 ou 13 ou 9 , etc.
Pour obtenir 9 papiers à partir de 5 , il suffit d'en découper un. Donc obtenir 33 est possible. Chaque opération de découpage produit 4 papiers de plus, qu'elle soit ou non concomitante à une autre. On n'est limité que par le nombre de papiers qu'on possède au moment de ces opérations.
\(2013=4 \times 502+5\). À partir de 5 papiers, on peut en obtenir 2013 après 502 opérations de découpage (qui, nécessairement, ne sont pas simultanées).