Olympiades · Académie Versailles · 2013 · Toutes séries
ArithmétiqueNumération
On écrit à la suite les entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits : \(2,3,5,6,7,8,10,11,12,13\), etc.
Quel est le \(2013{ }^{\text {ème }}\) nombre écrit ?
Si on écrit la suite des entiers non nuls jusqu'au carré de 46 , on obtient : \(1,2,3, \ldots, 2113,2114\), 2115,2116 . Cette suite comporte 2116 termes, dont 46 sont des carrés. Quand on prélève ces carrés, il reste \(2116-46\), c'est-à-dire 2070 nombres. Pour aller jusqu'au \(2013^{\text {ème }}\), il faut enlever les \(2070-2013\) derniers.
Les nombres à ôter sont les 56 prédécesseurs de 2115 et 2115 lui-même. Le dernier nombre écrit est donc 2058.
On peut observer que \(2058=2013+45\). On aurait aussi pu trouver 2058 en ajoutant à 2013 les 45 carrés «partis».