Exercice 2 — Sommes de sommets

Sujet

Première partie

Un triangle équilatéral de côté de longueur 2 est partagé en quatre triangles équilatéraux comme le montre la figure. À chaque sommet de ces 4 triangles est écrit un des nombres \(1,2,3,4,5,6\), utilisé chacun une seule fois. À l'intérieur de chacun des quatre triangles, on inscrit la somme des nombres écrits à ses sommets.

1. Est-il possible que les nombres inscrits dans les triangles soient tous égaux?
2. Est-il possible que la différence entre le plus grand de ces nombres et le plus petit soit égale à 1 ? Si oui, donner un
   
   exemple de répartition convenable

Deuxième partie

Dans cette partie, on utilise un triangle équilatéral de côté 3 partagé en neuf triangles aux sommets desquels on écrit les nombres \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) et 10 , utilisés chacun une seule fois, et on affiche les sommes obtenues pour chacun des neuf triangles.

1. Prouver que, quelle que soit la répartition des nombres sur les 10 sommets, trois au moins des nombres inscrits dans les triangles sont supérieurs ou égaux à 12 .
2. Prouver que, quelle que soit la répartition des nombres sur les 10 sommets, trois des nombres inscrits dans les triangles ont une somme supérieure ou égale à 48 .
3. Est-il possible que les nombres inscrits dans les triangles soient tous de même parité?
4. Est-il possible que la différence entre le plus grand et le plus petit des nombres inscrits dans les triangles soit égale à 1 ?
5. Prouver, en donnant un exemple de distribution correspondant, qu'il est possible que la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres soit égale à 2 .