Olympiades · Académie Versailles · 2013 · Série S
ArithmétiqueÉquations / Fonctions
Clara a pensé à quatre nombres.
Elle calcule les six sommes de ces nombres pris deux à deux.
Elle écrit au tableau cinq de ces six sommes : \(-2,1,2,3,6\).
Quels sont les quatre nombres auxquels Clara pensait ?
Considérons les nombres inconnus rangés dans l'ordre décroissant : \(a \geqslant b \geqslant c \geqslant d\). Ces inégalités en entraînent d'autres : \(a+b \geqslant a+c \geqslant a+d, b+c \geqslant b+d\), etc.
On peut écrire les deux chaînes d'inégalités :
\(\left\{\begin{array}{l}a+b \geqslant a+c \geqslant a+d \geqslant b+d \geqslant c+d \\ a+b \geqslant a+c \geqslant b+c \geqslant b+d \geqslant c+d\end{array}\right.\) Dans lesquelles on voit l'importance de l'ordre relatif de \(b+c\) et \(a+d\).
Dans l'ordre décroissant des sommes données, ces deux sommes occupent alors les deuxième et troisième rangs ou les troisième et quatrième. La somme \(a+b+c+d\) est, dans le premier cas, égale à 5 et dans le second égale à 3 . La somme de deux autres des nombres donnés doit elle aussi représenter \(a+b+c+d\), mais on constate, dans chaque cas, qu'aucune des sommes deux à deux des nombres restants de la liste n'est égale à 5 (respectivement à 3 ).
2. Supposons que \(b+c\) et \(a+d\) ne font pas tous les deux partie des données
La somme \(a+b+c+d\) s'écrit \((a+b)+(c+d)\) et aussi \((a+c)+(b+d)\).
Elle est égale à 4 . Comme \(a+d\) (ou \(b+c\) ) est égal à 2 , on en déduit que la somme manquante est aussi 2.
Finalement, \(a=\frac{7}{2}, b=\frac{5}{2}, c=-\frac{1}{2}, d=-\frac{3}{2}\).