Sujet
Dans la cour du Louvre, on peut admirer la grande pyramide entourée de trois pyramidions identiques. Ces constructions sont des pyramides régulières à base carrée; les faces latérales sont identiques (voir figure de droite).
Chaque face latérale est un triangle isocèle formé d'un assemblage de plaques élémentaires en verre. Ces plaques ont toutes la forme d'un losange dont les diagonales ont pour longueurs \(3,1 \mathrm{~m}\) et \(1,95 \mathrm{~m}\) ou, pour celles de la rangée du bas, d'un demi-losange.
La figure ci-contre montre un extrait du plan de leur disposition.
A - Un pyramidion
- Un visiteur compte le nombre de plaques entières, éventuellement coupées en deux, nécessaires à la construction de la totalité d'un pyramidion; il en dénombre 32 .
a) Représenter l'assemblage de plaques et de demi-plaques constituant une face latérale du pyramidion.
b) Calculer les dimensions d'un pyramidion : longueur d'un côté du carré de base et hauteur du pyramidion - A supposer qu'on ajoute une demi plaque sur la rangée du bas de chaque face du pyramidion, quel serait l'effet sur la hauteur du pyramidion?
B) La grande pyramide du Louvre
Pour simplifier ici, on ne tient pas compte de la porte existante sur l'une des faces de la grande pyramide. Ainsi fermée, la grande pyramide nécessite 648 plaques en forme de losange.- Quelle est la longueur d'un côté du carré de base de la grande pyramide?
- Calculer de la façon la plus simple possible la hauteur de la grande pyramide.
A - Un pyramidion
- a) Chaque triangle isocèle constituant une face nécessite huit losanges. La base doit être composée de quatre demi-losanges; on fait la représentation...Ou bien, on représente le losange du haut et on complète jusqu'à en avoir \(32 \ldots\)
b) Un triangle rectangle est formé par le centre du carré de base, le sommet de la pyramide et le milieu d'un côté. Hypoténuse et côté de ce triangle (demi-côté du carré) sont de longueur connue respectivement 2 fois \(3,1 \mathrm{~m}\) et 2 fois \(1,95 \mathrm{~m}\); la hauteur H vaut \(\sqrt{(6,2)^{2}-(3,9)^{2}}\), soit \(4,82 \mathrm{~m}\). - L'ajout d'une demi-plaque sur chaque côté augmente l'hypoténuse de \(\frac{3,1}{2}\) et le demi-côté de \(\frac{1,95}{2} \ldots\) on peut refaire le calcul...
Ou bien : cet ajout consiste à augmenter de la hauteur d'une pyramide dont la base est un carré de côté \(1,95 \mathrm{~m}\) et les faces des demi-plaques...
L'ajout d'une demi-plaque produit une augmentation de hauteur de \(\sqrt{(1,55)^{2}-(0,975)^{2}}\); soit 1,20 m.
B - La grande pyramide du Louvre
- Si on a \(n\) demi-plaques à la base en prenant deux faces adjacentes, on obtient un parallélogramme.
Il y a \(n\) étages de demi-losanges, et chaque étage compte ( \(2 n\) ) demi-losanges.
Donc cela donne \(2 n^{2}\) demi-losanges donc \(n^{2}\) losanges pour deux faces. Soit \(\frac{n^{2}}{2}\) losanges par face.
Avec 648 plaques en tout, chaque face en comporte 162 ; ce qui implique 18 demi-plaques par côté. D'où la longueur du côté du carré de base : \(18 \times 1,95\) soit \(35,1 \mathrm{~m}\).
N.B. : la détermination du nombre de plaques par faces peut relever d'une méthode inductive...
2. La hauteur est proportionnelle au nombre de demi-plaques sur chaque côté de la base.
La hauteur pour \(n\) demi-plaques est \(n \sqrt{(1,55)^{2}-(0,975)^{2}}\).
La hauteur de la pyramide vaut \(18 \sqrt{(1,55)^{2}-(0,975)^{2}}\); soit \(21,69 \mathrm{~m}\).
L'académie propose de compléter le sujet par trois questions sur la constructibilité de trois pyramides dont les bases ont respectivement 3, \(k\), 1296 côtés
C-
- Si la base est un triangle équilatéral, chacune des trois faces doit comporter 216 plaques; or ce nombre ne peut pas être la moitié du carré d'un nombre entier. La base ne peut pas être un triangle équilatéral.
- a) Si la base est un polygone régulier ayant \(k\) côtés ...
Soit \(k\) le nombre de côtés de ce polygone régulier, on doit avoir \(\frac{n^{2}}{2}=\frac{648}{k}\), soit \(n^{2} k-1296= 4^{4} 3^{4}\).
Les diviseurs carrés d'entiers de 1296 sont au nombre de neuf: \(2^{2}, 2^{2} 3^{2}, 2^{2} 3^{4}, 2^{4}, 2^{4} 3^{2}, 2^{4} 3^{4}, 3^{2}, 3^{4}, 1\).