Exercice 2 — Réseau HAN hémisphérique — Olympiades 2013 Toulouse et AEFE Ibérique

Sujet

La recherche informatique révolutionne le système WI-FI en 2050. Malgré des distances très importantes entre les ordinateurs, les chercheurs en informatique réussissent à connecter sans fils les ordinateurs de \(n\) personnes (où \(n\) est un entier avec \(n \geqslant 2\) ). Ils nomment HAN (Hemispheric Area Network) ce procédé de connexion.

Partie A - Le réseau HAN hémisphérique Nord.

A l'aide d'un émetteur très puissant situé au pôle Nord, ce réseau permet de relier les ordinateurs de \(n\) personnes si ces \(n\) personnes se trouvent sur l'hémisphère Nord (équateur inclus).

Justifier que si on choisit au hasard trois points de la Terre, la probabilité que trois personnes situées en ces points puissent se connecter est \(\frac{1}{8}\).
On choisit au hasard \(n\) points de la Terre, \(n\) étant un entier naturel supérieur ou égal à 3 . Quelle est la probabilité que \(n\) personnes situées en ces points puissent se connecter via le réseau HAN hémisphérique Nord?

Partie B - Le réseau hémisphérique mobile

Au bout de plusieurs années de recherche, les scientifiques améliorent ce réseau. Maintenant il permet de relier sans fils les ordinateurs de \(n\) personnes (où \(n\) est un entier avec \(n \geqslant 2\) ) s'il existe un point P sur la Terre pour lequel ces \(n\) personnes sont situées sur l'hémisphère de pôle P , noté \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}}\).
Le cercle, délimitant l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}}\), est appelé «grand cercle» associé à P . Il est considéré comme inclus dans l'hémisphère.

Figure a

Figure b

Sur la figure a ci-dessus trois personnes situées aux points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}\) peuvent se connecter en réseau HAN hémisphérique mobile car on a pu trouver un pôle \(\mathrm{P}_{1}\) tel que les trois points soient situés sur l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}_{1}}\).
La personne située au point \(\mathrm{M}_{1}\) n'est pas dans l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}_{1}}\); les quatre personnes ne peuvent donc pas communiquer entre elles en utilisant le réseau de pôle \(\mathrm{P}_{1}\).
Cependant, si on peut trouver un pôle \(\mathrm{P}_{2}\) (voir figure b) tel que les points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4}\) soient situés dans l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}_{2}}\), quatre personnes se trouvant en ces points peuvent communiquer à travers le réseau de pôle \(\mathrm{P}_{2}\).

Démontrer que deux personnes situées en nŠ'importe quels points de la Terre peuvent toujours se connecter en utilisant le réseau HAN hémisphérique mobile.
En est-il de même pour trois personnes situées en n'importe quels points de la Terre?
On considère quatre personnes : Paul situé au pôle Nord, Sarah située au pôle Sud, Eulalie située sur l'équateur et David, situé également sur l'équateur, diamétralement opposé à Eulalie.
Ces quatre personnes peuvent-elles se connecter en utilisant le réseau HAN hémisphérique mobile?

Partie C - Étude probabiliste

La suite de l'exercice consiste à déterminer la probabilité que quatre personnes situées en des points choisis aléatoirement sur la Terre puissent se connecter en utilisant le réseau HAN hémisphérique mobile.
On considère quatre points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}\) et \(\mathrm{M}_{4}\) choisis aléatoirement sur la Terre.
On note \(\mathrm{H}_{\mathrm{M}_{1}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{2}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{3}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{4}}\) les hémisphères de pôles \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4}\).
On suppose que les grands cercles associés aux pôles \(\mathrm{M}_{1}\), \(\mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4}\) sont deux à deux sécants. On exclut tout autre type d'intersection de ces quatre cercles, on admet qu'il s'agit de situations ne changeant pas le calcul de probabilité. Ces grands cercles découpent la surface de la Terre en diverses «régions».

On choisit au hasard une des ń régions ż ainsi définies. Quelle est la probabilité qu'elle soit entièrement située dans l'intersection des quatre hémisphères \(\mathrm{H}_{\mathrm{M}_{1}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{2}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{3}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{4}}\) ?
L'algorithme ci-contre permet de dénombrer le nombre de régions obtenues.
a) A l'aide de cet algorithme, déterminer le nombre de régions.
b) Expliquer pourquoi l'algorithme précédent dénombre effectivement le nombre de régions.

Variable : NbRegion
Initialisation :
On affecte 2 à NbRegion
Traitement :
Pour \(k\) allant de 1 à 3
On affecte NbRegion \(+2 k\) à NbRegion Fin
3. a) Soit K un point quelconque de la Terre et \(\mathrm{H}_{\mathrm{K}}\) l'hémisphère associé.

Démontrer que si le point \(\mathrm{M}_{1}\) appartient à l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{K}}\) alors le point K appartient à l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{M}_{1}}\).
b) Démontrer que s'il existe un pôle P tel que les quatre points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4}\) appartiennent à l'hémisphère \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}}\) alors l'intersection des hémisphères \(\mathrm{H}_{\mathrm{M}_{1}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{2}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{3}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{4}}\) est non vide.
c) Réciproquement, démontrer que si l'intersection des hémisphères \(\mathrm{H}_{\mathrm{M}_{1}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{2}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{3}}, \mathrm{H}_{\mathrm{M}_{4}}\) est non vide alors il existe un pôle P tel que les quatre points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4}\) appartiennent à \(\mathrm{H}_{\mathrm{P}}\).
4. Déterminer la probabilité que quatre personnes situées en des points de la Terre choisis au hasard puissent se connecter en réseau HAN hémisphérique mobile.

TOULOUSE - AEFE Ibérique

Troisième exercice

Séries autres que S

Les bonbons à l'anis

Énoncé

N.B. : Les trois questions sont indépendantes et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

Olympe adore les bonbons, et surtout ceux qui ont le goût d'anis. Pour son anniversaire, Martin veut lui en acheter un sac, mais il ne trouve qu'un mélange de bonbons à l'anis et de bonbons au citron. Il a alors l'idée de lui préparer des jeux. Votre mission va être d'aider Olympe.

1. Premier jeu : les trois boîtes

Martin dit à Olympe : « Regarde les trois boîtes que tu as devant toi. J'en ai rempli une avec des bonbons à l'anis, une autre avec des bonbons au citron et la troisième avec un mélange des deux. Elles portent les étiquettes ń « anis », «citron » et « mélange» mais aucune des boîtes n'a l'étiquette qui lui correspond. » Et Martin de poursuivre : «Je t'affirme que tu peux retrouver l'exact contenu de chaque boîte en ne goûtant qu'un seul bonbon en tout. \(\dot{z}\) » Martin a-t-il raison? Justifier.

2. Deuxième jeu : «pour être sûre»

Martin : « Olympe, je t'ai acheté un sac de bonbons de deux parfums différents : citron et anis. En prenant au hasard des bonbons dans le sac, si tu veux être sûre d'en avoir au moins un de chaque parfum, il faut que tu en prennes au moins 27 . Si tu veux être sûre d'en avoir au moins deux à l'anis, il faut que tu en prennes au moins 26 . Combien y a-t-il de bonbons dans le sac? \(>\) Que répond Olympe? Expliquer.

3. Troisième jeu : « les bonbons tournent»

Avant de manger ses bonbons, Olympe dispose trois assiettes en rond, comme sur la figure ci-contre. Elle met quatre bonbons à l'anis enrobés d'un papier vert dans l'assiette marquée « anis », quatre bonbons au citron enrobés d'un papier jaune dans l'assiette marquée «citron » et deux bonbons de chacun des parfums dans l'assiette marquée «mélange».
Elle propose alors le défi suivant à Martin :
« Tu vas prendre un bonbon dans l'assiette de ton choix. S'il est à l'anis, tu le mets dans l'assiette suivante en tournant dans le sens de rotation des aiguilles d'une montre; s'il est au citron, tu le mets dans l'assiette suivante en tournant en sens inverse des

aiguilles d'une montre.
Puis tu choisis un bonbon dans l'assiette dans laquelle tu viens de mettre le bonbon précédent et tu recommences.
Comment faire pour parvenir à ce qu'il y ait deux bonbons à l'anis et deux bonbons au citron dans chaque assiette en effectuant le moins de manipulations possible? »