Exercice 2 — Produit plus un

1. \(4 \times 5 \times 6 \times 77+1=841\)
   \(5 \times 6 \times 7 \times 8+1=1681\).
2. La suite obtenue est strictement croissante et saute de 1681 à \(6 \times 7 \times 8 \times 9+1=3025\) sans prendre la valeur 2013 .
3. \(10 \times 11 \times 12 \times 13+1=17161\).
4. Le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par 8 .

Si on lui ajoute 1, on obtient un nombre impair.
5. On a

\[ \begin{aligned} n(n+1)(n+2)(n+3)+1 & =n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+6 n+1 \\ & =\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2} . \end{aligned} \]

1. La suite \(n \rightarrow n^{2}+3 n+1\) est strictement croissante.
   \(n^{2}+3 n+1\) est égal
   pour \(n=43\) à \(43^{2}+3 \times 43+1=1978\)
   et pour \(n=44\) à \(44^{2}+3 \times 44+1=2068\).
   On ne peut donc pas obtenir \(n=2013^{2}\).
   La valeur la plus proche est \(1978{ }^{2}\).