Exercice 1 — Hélène et Helene — Olympiades 2013 Strasbourg

Sujet

Hélène a écrit chaque lettre de son prénom sur un petit carton.

Elle mélange les six cartons et forme au hasard un mot de six lettres.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir son prénom correctement orthographié? (on tient compte des accents)
b) Quelle est la probabilité d'obtenir un mot se terminant par NE ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir un mot commençant par une consonne?
2. Hélène réécrit les lettres de son prénom sur six cartons mais sans accents.

Elle mélange les six cartons et forme au hasard un mot de six lettres.
Quelle est la probabilité d'obtenir son prénom correctement orthographié?

a) Le mot Hélène comporte six lettres distinctes. Une seule permutation de ces six lettres sur un total de 720 est correcte. La probabilité cherchée est donc \(\frac{1}{720}\).
b) Si le mot se termine par « NE»; il commence par une seule des \(4!=24\) permutations des quatre lettres H, É, L, È.
La probabilité cherchée est donc \(\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\).
c) Il y a trois consonnes H , L et N donc trois possibilités pour la première lettre. Les cinq lettres restantes peuvent être permutées de \(5!=120\) façons.
La probabilité est donc \(\frac{3 \times 120}{720}=\frac{1}{2}\).
On peut aussi raisonner uniquement sur la première lettre qui est une consonne avec la probabilité \(\frac{1}{2}\).
En toute rigueur, si les lettres ne sont pas accentuées, il y a une probabilité nulle d'obtenir le prénom correctement orthographié. Si on cherche la probabilité d'obtenir le prénom correctement orthographié aux accents près, les lettres H , L et N doivent occuper les positions 1,3 et 5 et il reste 6 possibilités pour la position des trois cartons portant la lettre E.
La probabilité cherchée est donc : \(\frac{6}{720}=\frac{1}{120}\).