Exercice 2

Sujet

On considère la cible particulière suivante :
La hauteur \([\mathrm{AB}]\) de la cible mesure 2a.
\(C_{1}\) et \(C_{2}\) forment un arc de cercle de centre B et de rayon \(2 a\).
\(C_{3}\) et \(C_{4}\) forment un arc de cercle de centre A et de rayon \(2 a\).
La cible est constituée de deux zones:

• Une zone circulaire centrale représentée par un disque de centre O et de rayon \(a\), rapportant 5 points.
• La zone restante, rapportant 10 points.
  

Un joueur lance au hasard une fléchette sur cette cible. On suppose qu'elle atteint la cible et on note F le point d'impact de la fléchette.

Problème : On cherche à déterminer la probabilité \(p\) que le triangle ABF ainsi formé soit acutangle.
(On appelle triangle acutangle un triangle dont tous les angles sont aigus).

Partie A :

1. Expliquer le lien entre le problème et la présence de la zone à 5 points.
2. Exprimer la probabilité \(q\) que le triangle ABF ne soit pas acutangle sous forme d'un rapport d'aires.
3. En déduire \(p\). Cette probabilité dépend-elle de \(a\) ?

Partie B :

On choisit désormais \(a=1\) et on se place dans un repère orthonormé ( \(O ; \vec{u} ; \vec{v}\) ) tel que \(\vec{v}=\overrightarrow{O A}\). On note \((x ; y)\) les coordonnées du point F dans ce repère

1. Justifier que \(-\sqrt{3} \leqslant x \leqslant \sqrt{3}\) et \(-1 \leqslant y \leqslant 1\).
2. Démontrer que F appartient à la cible si et seulement si : \(x^{2}+(y+1)^{2} \leqslant 4\) et \(x^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 4\).
3. On considère l'algorithme suivant :