Exercice 1 — Les osselets

Sujet

Le jeu des osselets remonte à l'Antiquité grecque et se pratique à l'aide de plusieurs osselets, à l'origine des petits os (astragales) des pattes avant du mouton ou de la chèvre.
Un osselet présente quatre faces d'un aspect différent :

• des deux plus larges faces, l'une est convexe (bombée), l'autre concave (creuse).
• des deux plus étroites, l'une est plate, l'autre sinueuse.
  

Suivant le rapport des auteurs de l'Antiquité, à chacune de ces faces était associée une valeur numérique : la face plate correspondait à la valeur 1 , la face concave à la valeur 3 , la face convexe à la valeur 4 et la face sinueuse à la valeur 6 .

1. Notons \(p_{1}, p_{3}, p_{4}\) et \(p_{6}\) les probabilités d'obtenir respectivement les valeurs \(1,3,4\) et 6 lorsqu'on lance un osselet. Des expériences statistiques ont permis d'établir que \(p_{1}=p_{3}, p_{4}=p_{6}\) et \(p_{1}=4 p_{4}\). Calculer les probabilités élémentaires associées aux quatre faces.
2. En Grèce, quatre osselets étaient utilisés pour jouer. Les jeunes joueurs romains les lançaient simultanément et tentaient de réaliser des combinaisons de coups, repérées par des noms (Aphrodite, Midas, Chevelure de Bérénice, Stésichore, etc.)
   Le plus mauvais coup, appelé «le coup du chien», consistait à obtenir quatre faces numérotées 1 et le plus heureux coup avait pour nom le «coup de Vénus » : il correspondait au cas où l'on obtient le 1 , le 3 , le 4 et le 6 .
   a) Vérifier que, si l'on lance simultanément quatre osselets, il y a 35 combinaisons de coups possibles.
   b) Quelle est la probabilité d'obtenir le ń coup du chien ż?
   c) Quelle est la probabilité d'obtenir le coup constitué de trois 1 et d'un 3 ?
   d) Le coup de Stésichore est un coup dont la somme des valeurs des faces est 8 .

Quelle est la probabilité d'obtenir ce coup en jetant simultanément les quatre osselets?