Exercice 1

Sujet

Partie A - Marche aléatoire sur un segment

Dans un jeu vidéo, une cible se déplace sur un segment de la manière suivante : Elle part de la position 1 puis change de position toutes les secondes en suivant les règles ci-dessous :

• Des positions 1 et 3 , elle se déplace à la position 2;
• De la position 2, elle se déplace soit à la position 1 soit à la position 3, avec des probabilités identiques.

1. Quelle est la probabilité que la cible soit à la position 1, trente secondes plus tard.
2. Soit \(n\) un entier naturel impair.
   a) Déterminer la probabilité que la cible soit en position 1 au bout de \(n\) secondes.
   b) Déterminer la probabilité que la cible soit en position 2 au bout de \(n\) secondes.
3. Soit \(n\) un entier naturel non nul et pair.
   a) Déterminer la probabilité que la cible soit en position 1 au bout de \(n\) secondes.
   b) Déterminer la probabilité que la cible soit en position 2 au bout de \(n\) secondes
4. Compléter les deux algorithmes «à trous » ci-dessous de manière à ce que chacun d'entre eux permette de simuler la position de la cible au bout de \(n\) secondes.

La fonction «Entalea( \(0 ; 1\) )» permet l'affichage, de manière aléatoire mais équiprobable, de l'entier 0 ou de l'entier 1 .