Exercice 2

Sujet

Damien affirme, tout fier de montrer son savoir :

«Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des longueurs des deux autres côtés ! »

Mathilde lui répond : « Tu es sûr?». « Certain !» rétorque Damien.
Mathilde réfléchit et dit : « Tu t'es trompé ! J'ai trouvé un triangle rectangle qui ne vérifie pas ta propriété. »

1. Trouver un triangle auquel Mathilde aurait pu penser.

Décontenancé un instant, Damien essaie de se rattraper en disant : « Ah, mais je n'ai pas dit tous les triangles rectangles, mais il y en a qui ont cette propriété ! ».
Il réfléchit très fort et dit : « Tiens, regarde ce triangle là ! »
2. Trouver un triangle auquel Damien aurait pu penser.

Mathilde, moyennement convaincue de la bonne foi de Damien, le relance en disant : « Mais ça ne fait qu'un seul triangle, et tu as dis qu'il y en avait plusieurs! »
Nous allons essayer d'aider Damien, en cherchant des triangles rectangles vérifiant la propriété qu'il a énoncée.
3. En appelant x et y chacune des longueurs des deux côtés de l'angle droit d'un tel triangle, montrer qu'elles sont liées par la relation

\[ x^{2}+y^{2}=x+y \tag{1} \]

1. Réfléchissons aux couples de nombres strictement positifs qui vérifient cette relation.
   a) Montrer que les deux nombres x et y ne peuvent pas être tous les deux strictement supérieurs à 1 .
   b) Montrer qu'aucun de ces deux nombres ne peut être strictement supérieur à 2 .
   c) Montrer que si l'un des nombres est strictement inférieur à 1, alors l'autre est strictement supérieur à 1 .
   d) Vérifier que le couple \(\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2} ; \frac{1}{2}\right)\) vérifie la relation (1). Que peut-on en déduire comme réponse à la recherche de Damien?
2. Cherchons l'ensemble des couples de nombres ( \(x ; y\) ) qui vérifient la relation (1).
   a) Montrer que cette relation est équivalente à \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\).
   b) Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère le point I de coordonnées ( \(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\) ). Déduire de la question précédente, l'ensemble des points dont les coordonnées ( \(x ; y\) ) vérifient la relation (1).
3. Que peut répondre Damien à Mathilde, de la façon la plus précise possible, pour essayer de sauver la face?