Exercice 2 — Algorithme

Sujet

On considère l'algorithme suivant :
Calcul de la valeur Y de la fonction \(f\) en X :

1 DANS Y
POUR k allant de 1 à 3
    Y * (X-k) dans Y
FIN du POUR
Affiche Y

1. Faire un tableau de signe de la fonction \(f\) sur \(]-\infty ;+\infty[\).

On modifie maintenant la ligne 2 en remplaçant «POUR k allant de 1 à 3 » par «POUR k allant de 1 à 100 ».
2. Faire un tableau de signe de la nouvelle fonction \(f\) sur \(]-\infty ;+\infty\) [.

Dans la suite de l'exercice, \(N\) est un entier naturel non nul.
On modifie de nouveau l'algorithme pour obtenir :

Demander à l'utilisateur la valeur de N
1 DANS Y
POUR k allant de 1 à N
    Y * (X-k) dans Y
FIN du POUR
Affiche Y

1. Établir, en fonction de la valeur de \(N\), un tableau de signe de cette autre fonction \(f\) sur \(]-\infty ;+\infty[\).

Soit le nouvel algorithme :
Calcul de la valeur Y de la fonction \(g\) en X :

Demander à l'utilisateur la valeur de N
1 DANS Y
POUR k allant de -N à N
    Y * (X-k) dans Y
FIN du POUR
Affiche Y

1. Modifier l'algorithme pour calculer \(g(x)\) avec une seule boucle allant de 1 à N .
2. Exprimer \(g(x)\) en fonction \(f(x)\) et de \(f(-x)\).

Note : \((-1)^{n}\) est égal à 1 lorsque \(n\) est pair et est égal à (-1) lorsque \(n\) est impair.