Exercice 1 — Les nombres fâchés

1. Par exemple \(a=1\) et \(b=3\).
• \(a\) et \(b\) ne peuvent évidemment pas être pairs tous les deux.

• Si l'un des deux nombres est pair.

Par exemple \(a\) pair et donc \(b\) impair alors \(a+b+1\) est pair ce qui implique que \(a\) et \(a+b+1\) ne sont pas premiers entre eux et donc \(a\) et \(b\) ne sont pas « fâchés».
Conclusion : \(a\) et \(b\) doivent-être impairs pour qu'ils puissent être fâchés.
3. Soit \(b\) un nombre impair.
\(1, b\) et \(1,1+b+1\) sont évidements premiers entres eux.
Reste \(b\) et \(b+2\) :
Supposons qu'ils ne soient pas premiers entre eux alors il existe un diviseur commun \(d\) à \(b\) et à \(b+2\). Donc \(d \neq 1\) divise \(b+2-b=2\) d'où \(d=2\).
On en déduit que \(b\) est divisible par 2, ce qui est en contradiction avec \(b\) impair.
Conclusion : \(b\) et \(b+2\) sont premiers entre eux.
D'où 1 et \(b\) sont « fâchés ».
4. a) Implication : Démontrons la contraposée

Si \(a\) et \(b+1\) ne sont pas premiers entre eux, il existe un diviseur commun \(d \neq 1\) de \(a\) et de \(b+1\) alors \(d\) divise \(a+b+1 d \neq 1\) divise \(a\) et \(a+b+1\) donc \(a\) et \(b\) ne sont pas «fâchés».
Réciproque : \(a\) et \(b+1\) sont premiers entre eux

• \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux (énoncé)
• \(a\) et \(b+1\) sont premiers entre eux donc \(a\) et \(a+b+1\) sont premiers entres eux. ( car si \(d \neq 1\) divise \(a\) et \(a+b+1\) alors \(d\) divise \(a+b+1-a=b+1\) )
• Il reste à démontrer que \(b\) et \(a+b+1\) sont premiers entres eux.

Raisonnement par l'absurde :
Si \(d \neq 1\) divise \(b\) et \(a+b+1\) alors \(d\) divise \(a+b+1-b=a+1=16\).
On en déduit que \(d\) est pair et donc que \(b\) est pair ce qui en contradiction avec \(b\) impair.
Conclusion : \(a\) et \(b\) sont « fâchés».
b) Barrer tous les nombres pairs.

Barrer tous les multiples de 3.
Barrer tous les multiples de 5 .
Barrer tous les nombres juste avant les multiples de 3 .
Barrer tous les nombres juste avant les multiples de 5 .
c)