Exercice 2 — Sorties randonnées — Olympiades 2013 La Réunion

Sujet

Onze randonneurs (Alexandre, Bérénice,..., Knud) décident d'organiser des sorties par groupe de cinq personnes exactement, de manière que, à la fin de la saison, chacun ait marché deux fois exactement avec chacune des dix autres personnes.

À combien de sorties participe un randonneur?
Combien de sorties seront organisées lors de la saison?
Trois mêmes randonneurs pourront-ils participer à deux sorties ensemble?
Indiquer une organisation pour les sorties de la saison.

Un randonneur doit marcher 2 fois avec ses 10 compagnons. Au cours de ses sorties, il aura donc 20 accompagnateurs. Sachant qu'il marche avec 4 personnes par sortie, il devra donc participer à 5 sorties.
Chacun des 11 randonneurs effectue 5 sorties. Or, chaque sortie est composée de 5 randonneurs donc le nombre de sorties sera de \(\frac{5 \times 11}{5}=11\).
Supposons que 3 randonneurs \(R_{1}, R_{2}, R_{3}\) se soient trouvés ensemble dans 2 sorties. Il reste donc 9 sorties et chacun doit encore participer à 3 sorties, mais ils ne peuvent plus se retrouver ensemble. Ils participeront donc chacun à 3 sorties différentes parmi les 9 restantes. Choisissons un \(4{ }^{\text {ème }}\) randonneur \(R_{4}\) ayant participé à une sortie où participaient \(R_{1}, R_{2}, R_{3}\). Il lui reste donc 4 sorties à effectuer. Le randonneur \(R_{4}\) ne peut pas participer à la deuxième sortie effectuée \(\operatorname{par} R_{1}, R_{2}, R_{3}\) car il lui resterait alors trois sorties parmi les 9 restantes, mais quelles que soient celles qu'il choisit, il se retrouvera une troisième fois avec \(R_{1}, R_{2}\) ou \(R_{3}\).
Mais s'il ne participe pas à la deuxième sortie effectuée par \(R_{1}, R_{2}, R_{3}\), il doit effectuer 4 sorties parmi les 9 restantes. Quoi qu'il arrive, il devra donc participer à deux sorties où participe un même randonneur \(R_{1}, R_{2}\) ou \(R_{3}\). Cela signifie qu'il se retrouvera au moins 3 fois avec ce même randonneur, ce qui est contraire au règlement.
Trois mêmes randonneurs ne peuvent donc pas participer à plusieurs sorties ensemble.
Voici un exemple d'organisation de la saison, dans lequel chaque sortie est représentée par les initiales des 5 randonneurs : ABCDE, ABFGH, ACFIJ, ADGIK, AEHJK, BCHIK, BDFJK, BEGIJ, CGDHJ, CGEFK, DEIHF.