Sujet
La figure ci-dessous est construite avec quatre demi-cercles, admettant des tangentes communes en P , en Q , en R et en S .
1. Problème de longueur
a) On suppose que \(P R=12\) et \(Q S=6\).Comparer la longueur du demi-cercle de diamètre \(P S\) et celle de la courbe PQRS .
b) Cette propriété reste-t-elle vraie quelque soient les longueurs \(P R\) et \(Q S\) ?
2. Problème d'aire
a) On suppose que \(P R=12\) et \(Q S=6\).Calculer l'aire comprise entre les deux courbes (partie grisée).
[0pt]
b) On suppose maintenant que les points Q et S sont fixes et que P et R sont tels que R est sur le segment [QS] et \(P R\) est le double de \(Q S\).
[0pt]
Montrer que l'aire comprise entre les deux courbes est indépendante de la position du point R sur le segment [QS].
- Problème de longueur :
a) Soit \(\ell_{1}\) la longueur du demi-cercle de diamètre \(P S . \ell_{1}=\frac{\pi}{2} \times P S\).
Soit \(\ell_{2}\) la longueur de la courbe \(P Q R S\) :
\[ \ell_{2}=\frac{\pi}{2} \times P Q+\frac{\pi}{2} \times Q R+\frac{\pi}{2} \times R S=\frac{\pi}{2} \times(P Q+Q R+R S)=\frac{\pi}{2} \times P S . \]
Conclusion : \(\ell_{1}=\ell_{2}\).