Exercice 2 — Gendarme et Voleur autour d'un bassin

Sujet

Un gendarme \(\mathbf{G}\) poursuit un voleur \(\mathbf{V}\). Sur terre et sur l'eau le voleur est plus rapide que le gendarme. Le voleur est contraint de traverser un bassin circulaire rempli d'eau et de rayon \(R\). Mais la vitesse sur terre en ligne droite du gendarme est quatre fois supérieure à celle du voleur dans l'eau.
Le gendarme décide donc de ne pas pénétrer dans le bassin, de tourner autour de celui-ci et d'attraper le voleur dès qu'il sort du bassin. Lorsque le gendarme arrive au bord du bassin, le voleur se trouve entre le point G et O le centre du bassin.
Le but de cet exercice est de trouver une stratégie permettant au voleur d'échapper au gendarme.
Première stratégie : On se pose la question de savoir si le voleur peut échapper au gendarme en joignant le bord opposé en ligne droite.

1. Expliquer pourquoi le gendarme ne va commencer à tourner que lorsque le voleur atteindra O
2. Le voleur veut ensuite sortir en H. Est-ce une bonne stratégie pour échapper au gendarme ?
   

Seconde stratégie :

A. Calculs de vitesses angulaires

Le voleur tourne autour du cercle de centre O et de rayon \(\mathrm{r}(\mathrm{r}<\mathrm{R})\). Le gendarme tourne également dans le même sens, évidemment

1. Cas particulier : On suppose ici que la vitesse du voleur est de \(v=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) et \(R=10 \mathrm{~m}\).
   a) Quelle est la vitesse angulaire en degré par seconde du gendarme ?
   b) Si \(r=5 \mathrm{~m}\), calculer la vitesse angulaire en degré par seconde du voleur?
   c) Quel est celui qui tourne le plus vite ?
2. Cas général
   a) Exprimer en fonction de \(R\), la vitesse en degré par seconde du gendarme?
   b) Exprimer en fonction de \(r\), la vitesse en degré par seconde du voleur ?