Sujet
On a fabriqué des cibles, l'une est carrée de côté \(a\), dans laquelle on a tracé une croix comme indiqué sur le dessin, l'autre est formée d'un triangle équilatéral de côté \(a\) avec une croix comme indiqué sur le second dessin. La dernière cible est constituée d'un polygone régulier à \(n\) côtés de côté \(a\) dans lequel on a formé «l'étoile» comme indiqué sur le schéma (ici cas où \(n=8\) ).
On lance une fléchette. Le but de l'exercice est de déterminer dans chaque cas la probabilité d'atteindre la croix (partie blanche) si on a atteint la cible et enfin de comparer ces probabilités.
On rappelle que la probabilité \(p\) pour que la fléchette atteigne la zone blanche est \(p=\frac{\text { Aire de la partie blanche }}{\text { Aire de la cible }}\).
Première cible (carrée)
- On suppose ici que \(a=4\) et \(x=2\). Calculer la probabilité \(p\) pour que la fléchette atteigne la croix (partie blanche)
- On se trouve ici, dans le cas général, exprimer en fonction de \(a\) et de \(x\), la probabilité \(p\) d'atteindre la zone blanche de la cible carrée.
Deuxième cible (triangle équilatéral)
- On se trouve ici, dans le cas général, exprimer en fonction de \(a\) et de \(x\), la probabilité \(p^{\prime}\) d'atteindre la zone blanche de la cible triangulaire.
- Comparer les probabilités \(p\) et \(p^{\prime}\).
Cas général (polygones réguliers)
- Exprimer en fonction de \(a\) et de \(x\), la probabilité \(p\) " d'atteindre la zone blanche de la cible polygonale. Conclure.
- On suppose ici que \(a=10\), déterminer la longueur \(x\) pour laquelle la probabilité d'atteindre la zone blanche dans une cible est égale à \(\frac{1}{2}\).
Première cible
- La zone grise n'existe pas \(M N=0\) (voir figure)
La zone blanche correspond au carré ABCD . La probabilité cherchée est alors de 1 . (on est sûr d'atteindre la zone blanche si on atteint la cible.
Remarque : dans cet exercice il faut que \(x \leqslant a / 2\)
2. La zone grise est formée de 4 triangles rectangles isocèles tous identiques à MON. Ils forment un carré de côté \(M N\).
L'aire grise \(\mathcal{A}\) est donc égale à \(M N^{2}\). On a donc \(\mathcal{A}=(a-2 x)^{2}\).
La probabilité \(p\) cherchée est donc \(p=1-\frac{\text { Aire grise }}{\text { Aire du carré ABCD }}\)
Soit \(p=1-\frac{(a-2 x)^{2}}{a^{2}}=1-\left(\frac{a-2 x}{a}\right)^{2}\)
Deuxième cible
- \(C H=\frac{a \sqrt{3}}{2}\) donc l'aire de ABC est \(\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} \times a}{2}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\).
Donc l'aire de GAB est égale à \(1 / 3\) de celle de ABC , soit \(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}\).
Le triangle G'A'B' est une réduction de GAB de rapport \(k= \frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}=\frac{a-2 x}{a}\).
L'aire de G'A'B' \(=k^{2} \times \operatorname{aire}(G A B)=\left(\frac{a-2 x}{a}\right)^{2} \times \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}\).
L'aire grise \(\mathcal{A}\) est égale à 3 fois celle de G'A'B' d'où \(\mathcal{A}=\left(\frac{a-2 x}{a}\right)^{2} \times \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\).
La probabilité \(p^{\prime}\) cherchée est donc \(p^{\prime}=\frac{\text { Aire grise }}{\text { Aire du triangle ABC }}\).
Soit \(p^{\prime}=1-\frac{\left(\frac{a-2 x}{a}\right)^{2} \times \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}=1-\left(\frac{a-2 x}{a}\right)^{2}\).
2. On a \(p^{\prime}=p\).
Troisième cible
- Le triangle \(\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\) est une réduction du triangle OAB de rapport
\(k=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}=\frac{a-2 x}{a}\).
L'aire de \(\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=k^{2} \times \operatorname{aire}(\mathrm{OAB})\)
\(n \times \mathrm{l}^{\prime}\) aire de \(\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=n \times k^{2} \times \mathrm{l}^{\prime}\) aire de OAB .
L'aire grise \(\mathcal{A}\) est égale à \(n\) fois celle de \(\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\) et l'aire du polygone est égale à \(n\) fois celle de OAB , on a donc l'aire grise \(\mathcal{A}\) est égale à \(k^{2} \times\) l'aire du polygone.
