Exercice 2 — Sur un échiquier

Sujet

On travaille sur un échiquier de huit cases sur huit dans lequel chaque case est repérée par un couple formé d'une lettre minuscule et d'un nombre.

Ainsi la case nommée R est la case (b ;6).
Un déplacement est une succession de deux coups, un horizontal et l'autre vertical (en commençant par l'un ou l'autre et l'un ou l'autre pouvant être nul).
On appelle «distance» entre deux cases la longueur d'un déplacement qui mène de l'une à l'autre. Par exemple la «distance» entre les cases R et S est \(3+3=6\), la distance entre la case R et la case repérée (g;6) est 5.

1. Placer la case \(\mathrm{T}(\mathrm{h} ; 7)\) et préciser sa distance aux cases R et S .
2. Précisez l'ensemble des cases dont la «distance » à la case S est égale à 2 .
3. On appelle médiatrice des cases R et S l'ensemble des cases équidistantes de R et S .
   a) Quelle est la médiatrice de R et S ?
   b) Quelle est la médiatrice de \(\mathrm{U}(\mathrm{b} ; 3)\) et \(\mathrm{V}(\mathrm{d} ; 4)\) ? Pourquoi?
4. On dit que trois cases vérifient la relation de Pythagore si elles sont deux à deux distinctes et si le carré de la «distance» entre deux de ces cases, est égale à la somme des carrés des «distances » de ces cases à la troisième.
   a) Donner un (ou plusieurs) exemples triplets de cases vérifiant la relation de Pythagore.

On veut montrer que la relation de Pythagore n'est jamais vérifiée pour trois cases dont les centres forment un triangle rectangle
b) Le justifier lorsque deux de ces cases sont sur une même ligne horizontale ou verticale.
c) Écrire (en langue naturelle ou dans un langage de son choix) un algorithme qui permette de le vérifier dans tous les cas.
5. On choisit deux cases au hasard et de façon indépendante dans l'échiquier.