Exercice 1 — Les triplets pythagoriciens

Partie A

• \((6,8,10)\) ou \((5,12,13)\) par exemple.
• Soit \((x, y, z)\) un triplet pythagoricien : \(x^{2}+y^{2}=z^{2} ; x\) est un entier naturel non nul, par conséquent \(x^{2}>0\), et on en déduit \(z^{2}>y^{2}\), puis que \(z>y\); on prouve, de même, que \(z>x\).
• Soit \((x, y, z)\) un triplet pythagoricien. On vient de justifier que \(z>x\) et que \(z>y\) : on en déduit que \(z \neq y\) et que \(z \neq x\); supposons que \(x=y\), alors \(\frac{z^{2}}{x^{2}}=2 \Leftrightarrow \frac{z}{x}=\sqrt{2}, z \in \mathrm{~N} *\) et \(x \in \mathrm{~N} *\). Ceci est absurde car \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel; supposons que \(x=y=z\), ce qui équivaut à \(x^{2}=0\). Ce qui est impossible car \(x\) est un entier naturel non nul.
• Soit \((y-1, y, y+1)\) un triplet pythagoricien constitué de trois entiers naturels consécutifs, avec \(y>1:(y-1)^{2}+y^{2}=(y+1)^{2}\) et \(y>1\). L'unique solution de cette équation est \(y=4\); on en déduit l'unique triplet pythagoricien constitué de trois entiers consécutifs : \((3,4,5)\).

Partie B

• Soit \((x, y, y+1)\) un triplet pythagoricien pour lequel \(y\) et \(z\) sont consécutifs : \(x^{2}+y^{2}=(y+1)^{2}, x \in \mathrm{N} *\) et \(y \in \mathrm{~N} *\); On obtient \(x^{2}=2 y+1, x \in \mathrm{~N} *\) et \(y \in \mathrm{~N} *\); si \(x\) est un entier pair alors \(x^{2}\) est également un entier pair.
  Or \(x^{2}=2 y+1\), Par conséquent \(x\) est nécessairement impair, \(x^{2}\) est également impair, et on pose \(x=2 n+1\) avec \(n\) entier naturel.
• L'équation devient \(4 n^{2}+4 n=2 y\) avec \(y\) entier naturel non nul, \(n\) entier naturel; C'est-à-dire \(y=2 n^{2}+2 n\) avec \(y\) entier naturel non nul et \(n\) entier naturel. D'où \(n\) entier naturel non nul et \(x\) supérieur ou égal à 3 .
  Pour chaque entier impair \(x\), supérieur ou égal à 3 , il existe un triplet pythagoricien ( \(x, y, z\) ) avec \(y\) et \(z\) consécutifs : \((2 n+1,2 n+2 n, 2 n+2 n+1)\) et \(n\) entier naturel non nul.
• On obtient pour : \(n=1(3,4,5) ; n=2(5,12,13) ; n=3(7,24,25) ; n=4(9,40,41) ; n=5(11,60,61)\); \(n=6(13,84,85)\)

Partie C

Soit ( \(x, x+1, z\) ), avec \(x\) entier naturel non nul, un triplet pythagoricien tel que \(x\) et \(y\) sont consécutifs. Alors \(x^{2}+(x+1)^{2}=z^{2}\), c'est-à-dire \(2 x^{2}+2 x+1=z^{2}\)

1. Soit ( \(x, y, z\) ) un triplet d'entiers naturels non nuls tel que \(z^{2}=x^{2}+y^{2}\). (une unité de longueur étant choisie), Il existe un triangle (ABC) rectangle en B et dont les côtés ont pour mesures respectives \(x, y\) et \(z=A C\). Tout triangle rectangle en B est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AC]. Vérifions qu'il existe bien un triplet pythagoricien de la forme ( \(x, x+1, z\) ) avec \(z=A C=2 \times 14,5=29\).
   \(x\) entier naturel non nul doit être solution de l'équation \(x^{2}+(x+1)^{2}=29^{2}\). On obtient \(x=20\); et le triplet pythagoricien \((20,21,29)\).
2. Il y a de multiples possibilités, utilisant ou pas des listes, des fonctions. Un algorithme possible, très élémentaire, utilisant le logiciel algobox :
   Un triplet pythagoricien de la forme \((x, x+1, z)\) doit vérifier l'égalité \(2 x^{2}+2 x+1=z^{2}\); C'est-à-dire \(z=\sqrt{2 x^{2}+2 x+1}\) et \(z\) entier naturel non nul.

DECLARATION DES VARIABLES :
x EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE
y EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE
z EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE
DEBUT\_ALGORITHME
x PREND\_LA\_VALEUR 1
TANT\_QUE (sqrt \((2 * \mathrm{x} * \mathrm{x}+2 * \mathrm{x}+1)<(500)\) ) FAIRE
DEBUT\_TANT\_QUE
Si FLOOR (sqrt \((2 * \mathrm{x} * \mathrm{x}+2 * \mathrm{x}+1)==\mathrm{sqrt}(2 * \mathrm{x} * \mathrm{x}+2 * \mathrm{x}+1)\) ) ALORS
DEBUT\_SI
AFFICHER ×
y PREND\_LA\_VALEUR \(\mathrm{x}+1\)
AFFICHER y
z PREND\_LA\_VALEUR sqrt \((2 * \mathrm{x} * \mathrm{x}+2 * \mathrm{x}+1)\)
AFFICHER z
PAUSE
FIN\_SI
x PREND\_LA\_VALEUR \(\mathrm{x}+1\)
FIN\_TANT\_QUE
FIN\_ALGORITHME
3. En utilisant cet algorithme et le langage de programmation propre à sa calculatrice, on obtient comme unique possibilité : \((119,120,169)\)

Partie D

(65, 72,97) est un triplet pythagoricien car \(97^{2}=65^{2}+72^{2}\). L'unité de longueur choisie est le stade .toutes les aires sont exprimées en unités d'aire.
1 stade \(=2 \mathrm{~mm}\); sur la figure demandée aux candidats les longueurs des côtés sont respectivement 19,4 \(\mathrm{cm} ; 13 \mathrm{~cm} ; 14,2 \mathrm{~cm}\). Pour la lisibilité de la correction, on a gardé sur le schéma ci-dessous les longueurs du triangle exprimées en stades.
1.

Le triangle ACB est rectangle en C car le triplet \((65,72,97)\) est pythagoricien : \(97^{2}=72^{2}+65^{2}\).
Il est inscrit dans le demi-cercle de diamètre \([\mathrm{AB}]\).
[0pt] Le milieu I de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ACB. Notons \(R=\frac{A B}{2}=48,5 c m\).
2. L'aire du demi-disque est \(a_{1}=\frac{\pi \times R^{2}}{2}\); l'aire du triangle ACB est \(a_{2}=\frac{A C \times B C}{2}=2340\); l'énoncé indique qu'il y a équiprobabilité du domaine où est enterré le grimoire.
a) Déterminer la probabilité d'avoir deux fois la même case.
b) Quelle est la probabilité d'avoir un point à « distance \(>2\) du point R et l'autre à « distance \(>2\) du point \(S\).
6. On choisit à nouveau deux cases au hasard, mais avec la condition que la première soit au bord de l'échiquier (c'est à dire colonnes a, h et/ou lignes 1,8 ).
Quelle est la probabilité d'avoir deux cases à la distance 2 l'une de l'autre.