Exercice 1 — Dés tétraédriques — Olympiades 2013 Paris

Sujet

Un dé tétraédrique, quand il est posé, laisse voir trois de ses quatre faces numérotées de 1 à 4 . C'est la face cachée qui donne la «valeur» du dé après un lancer.
Est-il possible d'avoir deux dés tétraédriques pour lesquels les probabilités d'obtenir chacune des sommes possibles des valeurs des deux dés soient égales? On envisagera tous les cas :

les deux dés sont bien équilibrés ;
les deux dés sont pipés de la même manière;
les deux dés sont pipés de deux manières différentes.

On notera \(p_{i}\) la probabilité que la valeur du premier dé soit le nombre \(i\) et \(q_{i}\) la probabilité que la valeur du deuxième dé soit le nombre \(i\).

Raisonnons dans chaque cas par l'absurde

On a \(\frac{1}{4}=p_{1}=q_{1}=\cdots=p_{4}=q_{4}\) et \(\frac{1}{7}=p_{1} \times q_{1}\), ce qui donne le résultat erroné suivant : \(\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\).
\(p_{1}=q_{1}, p_{2}=q_{2}, p_{3}=q_{3}, p_{4}=q_{4}\) et

\[ \begin{aligned} \frac{1}{7} & =p_{1}^{2}=\cdots=p_{1} q_{4}+p_{2} q_{3}+p_{3} q_{2}+p_{4} q_{1} \\ & =\cdots=p_{4}^{2} \end{aligned} \]

D'où \(p_{1}=p_{4}\) et \(p_{1}^{2} \geqslant 2 p_{1}^{2}\) ce qui est impossible car \(p_{1}\) n'est pas nul.
3. On a

\[ \begin{aligned} \frac{1}{7} & =p_{1} q_{1}=\cdots=p_{1} q_{4}+p_{2} q_{3}+p_{3} q_{2}+p_{4} q_{1} \\ & =\cdots=p_{4} q_{4} \end{aligned} \]

D'où

\[ p_{1}=\frac{1}{7 q_{1}} \text { et } p_{4}=\frac{1}{7 q_{4}} \]

ce qui donne

\[ \frac{1}{7}=\frac{1}{7 q_{1}} q_{4}+p_{2} q_{3}+p_{3} q_{2}+\frac{1}{7 q_{4}} q_{1} \geqslant \frac{1}{7}\left(\frac{q_{4}}{q_{1}}+\frac{q_{1}}{q_{4}}\right) \]

Il est ensuite simple d'établir que \(x+\frac{1}{x} \geqslant 2\) pour \(x>0\) et donc que \(\frac{1}{7} \geqslant \frac{2}{7}\), ce qui est erroné.
On peut remarquer que le troisième cas contient les deux autres.
La réponse à la question posée est donc non dans chacun des cas.