Sujet
Partie A Quelques calculs. . . remarquables
- a) Vérifier les égalités suivantes :
\[ \left(1^{2}+3^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right)=(1 \times 4+3 \times 5)^{2}+(1 \times 5-3 \times 4)^{2}=(1 \times 4-3 \times 5)^{2}+(1 \times 5+3 \times 4)^{2} \]
b) Vérifier que le produit \(\left(7^{2}+5^{2}\right)\left(10^{2}+13^{2}\right)\) est égal à chacune deux sommes suivantes : \(135^{2}+41^{2}\) et \(5^{2}+141^{2}\).
Justifier le choix des nombres 135 et \(41 ; 5\) et 141 qui interviennent dans ces sommes.
2. Dans cette question, \(a, b, c\) et \(d\) sont des entiers naturels non nuls.
a) Démontrer que, quelles que soient les valeurs de ces entiers, le produit \(P=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\) peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés de deux nombres entiers naturels.
b) On suppose que \(a\) est différent de \(b\) et \(c\) différent de \(d\). Peut-on écrire \(P\) de deux manières différentes sous la forme d'une somme de deux carrés de deux nombres entiers naturels? Justifier votre réponse.
Les parties \(B\) et \(C\) peuvent être traitées de manière indépendante
Partie B - Une application : un rectangle contre deux carrés
Peut-on échanger de manière équitable un terrain rectangulaire de dimensions 116 mètres et 106 mètres contre deux terrains carrés dont les mesures, en mètres, des côtés seraient des nombres entiers. (La somme des aires des deux carrés doit donc être égale à l'aire du rectangle).Justifier soigneusement votre réponse.
Pourriez-vous donner plusieurs solutions au problème posé?
Partie C - Une autre application : un triplé de carrés
- Existe-t-il un triangle ABC rectangle en A tel que l'hypoténuse \(B C\) mesure 410 cm , les mesures, en cm , des côtés \(A B\) et \(A C\) étant des nombres entiers. On pourra utiliser la question 1.a) de la partie \(A\)
- En utilisant le tableur de votre calculatrice ou en la programmant donner le maximum de solutions au problème posé.
Partie A
- a) \(\left(1^{2}+3^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right)=10 \times 41=410\)
et \((1 \times 4+3 \times 5)^{2}+(1 \times 5-3 \times 4)^{2}=19^{2}+(-7)^{2}=19^{2}+7^{2}=410\).
et \((1 \times 4-3 \times 5)^{2}+(1 \times 5)^{2}+(1 \times 5+3 \times 4)^{2}=(-11)^{2}+17^{2}=11^{2}+17^{2}=410\).
Donc vérification faite.
b) \(\left(7^{2}+5^{2}\right)\left(10^{2}+13^{2}\right)=74 \times 269=19906=135^{2}+41^{2}\) et, par analogie avec la question 1.a), \(135=7 \times 10+5 \times 13 ; 41=7 \times 13-5 \times 10 ; 5=7 \times 10-5 \times 13\) et \(141=7 \times 13+5 \times 10\).
c) \(\left(11^{2}+27^{2}\right)\left(35^{2}+18^{2}\right)=1316650\)
\((11 \times 35+27 \times 18)^{2}+(11 \times 18-27 \times 35)^{2}=871^{2}+(-747)^{2}=871^{2}+747^{2}=1316650\).
\((11 \times 35-27 \times 18)^{2}+(11 \times 18+27 \times 35)^{2}=(-101)^{2}+1143^{2}=101^{2}+1143^{2}=1316650\). - a) On conjecture la formule
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \]
que l'on vérifie en développant chaque membre. On a donc au moins une décomposition.
b) On suppose que \(a\) est différent de \(b\) et que \(c\) est différent de \(d\).
Si les décompositions obtenues au 2. a) sont identiques, alors nécessairement :
\[ \left\{\begin{array} { l } { a c + b d = \pm ( a c - b d ) } \\ { a d - b c = \pm ( a d + b c ) } \end{array} \text { ou } \left\{\begin{array}{l} a c+b d= \pm(a d+b c) \\ a d-b c= \pm(a c-b d) \end{array}\right.\right. \]
- si \(a c+b d=a c-b d\) alors \(b d=0\) ou \(d=0\), ce qui est contraire à l'hypothèse.
- si \(a c+b d=-(a c-b d)\) alors \(a c=0\) ou \(c=0\), ce qui est contraire à l'hypothèse.
- si \(a c+b d=a d+b c\) alors \((a-b)(c-d)=0\) donc \(a=b\) ou \(c=d\), ce qui est contraire à l'hypothèse.
- si \(a c+b d=-(a c+b c)\) alors \((a+b)(c+d)=0\), ce qui est impossible car \(a, b, c\) et \(d\) sont des entiers naturels strictement positifs.
Les deux décompositions obtenues au 2.a) sont donc distinctes.
Partie B
Il suffit de remarquer que \(116=100+16=10^{2}+4^{2}\) et que \(106=9^{2}+5^{2}\). On obtient donc\[ \begin{aligned} 116 \times 106 & =\left(10^{2}+4^{2}\right)\left(9^{2}+5^{2}\right) \\ & =(10 \times 9+4 \times 5)^{2}+(10 \times 5-4 \times 9)^{2}=110^{2}+14^{2} \\ & =(10 \times 9-4 \times 5)^{2}+(10 \times 5+4 \times 9)^{2}=116 \times 106 \\ & =86^{2}+70^{2}=14^{2}+110^{2} \end{aligned} \]
On peut donc échanger le terrain rectangulaire contre deux terrains carrés dont les dimensions des côtés seraient 86 m et 70 m ou bien 14 m et 110 m .
Partie C
- D'après la question 1.a), \(410=19^{2}+7^{2}=11^{2}+17^{2}\)
donc \(410^{2}=410 \times 410=\left(19^{2}+7^{2}\right)\left(11^{2}+17^{2}\right)=(19 \times 11+7 \times 17)^{2}+(19 \times 17-7 \times 11)^{2}=328^{2}+246^{2}\) ou \(410^{2}=(19 \times 11-7 \times 17)^{2}+(19 \times 17+7 \times 11)^{2}=90^{2}+400^{2}\).
Le triangle ABC ayant comme mesure des côtés \(328 ; 246 ; 410\) vérifie donc la réciproque de Pythagore et le triangle ABC sera rectangle.
De même le triangle ABC qui aurait comme mesure des côtés 90 ; 400 et 410 serait un triangle rectangle.
2. Voir l'algorithme page suivante