Exercice 1 — Fourmidables

Sujet

A partir d'un cône de génératrice [AS] (figure 1), on fabrique un tronc de cône en coupant celui-ci par un plan parallèle à la base en un point quelconque C , distinct de A et de S , de la génératrice [SA].

On donne \(O A=1\).

Deux fourmis « F1» et «F2» partent du point A.
[0pt] La fourmi «F1» parcourt le cercle de base et revient en A. La fourmi «F2» parcourt d'abord le segment [AC], puis le cercle supérieur du tronc et revient en A en suivant le segment \([\mathrm{CA}]\).

L'objectif du problème est de comparer les distances parcourues par les deux fourmis, selon les valeurs des longueurs \(A S\) et \(A C\).

Figure 1

Trajet de F1

Trajet de F2

Partie A : Études d'exemples

1. Dans cette question, on suppose \(A C=1\).
   a) On suppose de plus \(A S=3\). Démontrer que, parmi les deux fourmis, c'est la fourmi «F1» qui parcourt la plus grande distance.
   b) Dans cette question, on a \(A C=1\) et cette fois \(A S=4\). Laquelle des deux fourmis parcourt la plus grande distance?
2. Dans cette question, la longueur \(A C\) est quelconque et on suppose \(A S=3\).
   a) Exprimer la distance parcourue par la fourmi «F2» en fonction de la longueur \(A C\).
   b) Démontrer que, quelle que soit la longueur \(A C\), la fourmi «F1» parcourt la plus grande distance.