Exercice 2 — Les triangles olympiques

Sujet

On considère un triangle T dont les côtés mesurent \(a, b\) et \(c\).
Un tel triangle T est dit « olympique » lorsque :

Donner un exemple de triangle olympique. On précisera les mesures des trois côtés.
a) En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que \(b\) et \(c\) sont des entiers consécutifs, c'est-àdire que \(c=b+1\).
b) En déduire une expression simple de \(b\) en fonction de \(a\).
c) Le nombre entier \(a\) peut-il être un nombre pair?
d) Un triangle olympique peut-il être isocèle ?
e) Existe-t-il un triangle olympique T pour tout nombre entier \(a\) impair supérieur à 2 ?
Dans toute la suite, on suppose que \(a\) est un nombre impair.
a) Calculer, en fonction de \(a\), l'aire a d'un triangle olympique.
b) Combien y a-t-il de valeurs de \(a\) pour lesquelles l'aire a est inférieure ou égale à 2013 ?
On tire trois fois de suite avec remise un jeton d'une urne qui en contient cent numérotés de 1 à 100.

Calculer la probabilité que les numéros des trois jetons définissent (dans l'ordre de tirage) un triangle olympique de côtés de mesure \(a, b\) et \(c\).

Le triangle 3-4 - 5 convient.
a) \(c^{2}=a^{2}+b^{2} \Longleftrightarrow c^{2}=b+c+b^{2} \Longleftrightarrow c^{2}-c-\left(b^{2}+b\right)=0\).

Cette équation du second degré en la variable \(c\) admet deux racines : \(-b\) et \(b+1\).
\(c=-b\) étant impossible, on déduit \(c=b+1\) donc \(b\) et \(c\) sont consécutifs.
b) \(a^{2}=b+c=2 b+1 \Longleftrightarrow 2 b=a^{2}-1\).

De même, \(a^{2}=b+c=2 c-1 \Longleftrightarrow 2 c=a^{2}+1\).
c) Supposons a pair, alors \(a^{2}-1\) impair, contradiction avec \(2 b=a^{2}+1\).
d) \(a=b\) amène une contradiction immédiate.
e) Si \(a=2 p+1\) avec \(p\) entier naturel non nul, alors \(2 b=4 p^{2}+4 p\) donc \(b=2 p^{2}+2 p\) et \(2 c=4 p^{2}+4 p+2\) donc \(c=2 p^{2}+2 p+1\) et \(T\) existe.
3. a) On a \(\mathcal{A}=\frac{a \times b}{2}=\frac{a\left(a^{2}-1\right)}{4} \operatorname{car}\left(2 b=a^{2}-1\right.\) (question 2.b)).