Exercice 2 — Triangles entiers à hauteurs entières

Sujet

Définition :

On appelle triangle entier à hauteurs entières tout triangle dont les longueurs des côtés \(a=B C, b= A C\) et \(c=A B\) sont des nombres entiers naturels et dont les longueurs des hauteurs ( \(h_{1}=A H, h_{2}=B K\) et \(h_{3}=C L\) ) sont des nombres entiers.

On rappelle que :

• un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres côtés (relation de Pythagore)
• L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la longueur d'un des côtés par la longueur de la hauteur issue du sommet opposé à ce côté.

1. Démontrer les égalités : \(a \times h_{1}=b \times h_{2}=c \times h_{3}\).
2. Triangle rectangle

On considère un triangle ABC pour lequel on a les longueurs \(a=4 k, b=5 k\) et \(c=3 k\) où \(k\) est un nombre entier naturel non nul.
a) Montrer que ABC est un triangle rectangle.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(k\) pour que les longueurs des hauteurs du triangle ABC soient des nombres entiers naturels.

3. Triangles non rectangles

On considère un triangle ABC pour lequel les longueurs \(a=13 k, b=15 k\) et \(c=14 k\) où \(k\) est un nombre entier naturel non nul.
a) Montrer que ABC n'est pas un triangle rectangle.
b) Montrer que \(h_{3}\) est un nombre entier naturel.
c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(k\) pour que les longueurs des autres hauteurs du triangle ABC soient des nombres entiers naturels.

4. Triangle équilatéral

Montrer qu'il n'existe pas de triangle équilatéral entier à hauteurs entières.