Exercice 1 — Le magicien gagnera très probablement

Sujet

Un magicien propose à un spectateur de jouer une partie de cartes.
La règle du jeu est simple : On utilise un jeu dont la moitié des cartes sont rouges et l'autre moitié des cartes sont noires. Le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu'il est possible de faire avec trois cartes différentes; par exemple, la combinaison rouge-noir-rouge. Le magicien choisit à son tour une combinaison, par exemple rouge-rouge-noir.
Le jeu est mélangé par le spectateur, le magicien coupe le jeu et le donne au spectateur faces vers le bas. Le spectateur retourne successivement les cartes sur la table. Dès qu'apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l'un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie.
Par exemple :
Le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir.
Le spectateur retourne les cartes successivement : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir.
C'est donc le magicien qui remporte la partie.
Le truc du magicien :
Il laisse son adversaire choisir le premier.
Le choix du magicien est alors le suivant : la première carte de la combinaison du magicien est de la couleur opposée à celle de la deuxième carte de la combinaison du spectateur. Les deux cartes suivantes de la combinaison du magicien sont de la même couleur que les deux premières cartes de son adversaire.
Reprenons l'exemple précédent.
Le spectateur a choisi la combinaison : rouge-noir-rouge. La première carte de la combinaison du magicien doit être de la couleur opposée à celle de la deuxième de son adversaire : celle-ci étant noire, celle du magicien sera rouge. Puis les deux cartes suivantes doivent être de la même couleur que la première et la deuxième du spectateur, donc les deux cartes suivantes sont rouge et noire. Finalement la combinaison du magicien est : rouge-rouge-noir.

Nous allons démontrer dans quelques cas particuliers que la probabilité de sortie de la combinaison choisie
par le magicien est plus grande que la probabilité de sortie de celle du spectateur.
On considèrera que le nombre de cartes est suffisamment important pour que la probabilité de tirer une carte d'une couleur donnée (noire ou rouge) soit égale à \(\frac{1}{2}\) quel que soit le rang du tirage.

1. Premier cas : Le spectateur choisit la combinaison : rouge-rouge-rouge, le magicien choisit donc : noir-rouge-rouge.
   (a) Vérifier que lors du tirage des trois premières cartes, le spectateur a la même probabilité de gagner que le magicien.
   (b) Montrer que dans ce cas particulier de la combinaison rouge, rouge, rouge, le spectateur ne peut gagner que lors du tirage des 3 premières cartes.
   (c) Calculer à présent la probabilité de chacun de gagner au cours du tirage des 4 premières cartes.
2. Deuxième cas : Le spectateur choisit la combinaison : rouge-noir-rouge, le magicien choisit donc : rouge-rouge-noir.
   (a) Calculer les probabilités respectives de gagner du magicien et du spectateur en se limitant à une séquence d'au plus 4 cartes.
   Quelle est la probabilité qu'aucun des deux protagonistes ne gagne?
   (b) Proposer un algorithme simulant le jeu et indiquant le vainqueur (ou match nul si aucun des deux ne gagne) en se limitant à 5 cartes au maximum.
   (c) Indiquer quelles lignes ajouter à l'algorithme précédent pour avoir la possibilité de simuler \(n\) tirages de 5 cartes, et d'indiquer le nombre de victoires de chacun des joueurs au cours des \(n\) tirages.
   (d) On a fait tourner quatre fois un tel algorithme avec \(n=40000\). On a obtenu les résultats suivants :

Simulation numéro	1	2	3	4
nombre de victoires du magicien	13708	13638	13880	13563
nombre de victoires du spectateur	8805	8960	8720	8741

Estimer les probabilités de gain du magicien et du spectateur.
(e) Lors du tirage des cinq premières cartes, calculer les probabilités respectives de gagner du magicien et du spectateur.

Remarque (à ne pas prendre en compte pour résoudre l'exercice)

Cet exercice présente une version simplifiée du jeu. Dans la version complète, le magicien et le joueur continuent à tirer les cartes jusqu'à épuisement du paquet en comptant les suites gagnantes pour chacun d'eux. Celui qui a remporté le plus de suites gagne la partie.