Exercice 4 — Embouteillages — Olympiades 2013 Montpellier et Maroc

Sujet

Les embouteillages sur une route sont en général dus à des différences de vitesse entre les véhicules et au nombre de véhicules circulant.
On se place sur une route avec une seule file de véhicules qui se suivent. Les vitesses sont exprimées en kilomètres par heure ( \(\mathrm{km} . \mathrm{h}^{-1}\) ) ou en mètres par seconde ( \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\) ), les distances en kilomètres ( km ) ou en mètres ( m ) suivant les cas.

1. Distance d'arrêt.

Lorsqu'un véhicule freine sur route sèche, il lui faut une certaine distance pour s'arrêter. Cette distance d'arrêt, exprimée en m , est proportionnelle au carré de sa vitesse \(v\), exprimée en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\), c'est-à-dire que : \(d_{A}=C \times v^{2}\) où \(C\) désigne un nombre réel.
a) Compléter le tableau suivant :

\(v \mathrm{en} \mathrm{km} / \mathrm{h}\)	\(v\) en \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\)	\(d_{A}(\) en m\()\)	\(d_{A} / v^{2}\)
50	13,9	12,1	0,0627
90		39,1
100		48,3
130		81
150		108,4
170		139,9

(Source : Gendarmerie Nationale)
b) Donner une valeur moyenne de \(C\) à \(10^{-2}\) près.

2. Distance de réaction

Un conducteur ne réagit en général pas tout de suite à l'allumage des feux «STOP» du conducteur qui le précède : le temps de réaction noté \(T\) dépend de l'âge du conducteur, mais on considère qu'une durée moyenne d'une seconde est raisonnable.
Justifiez que la distance parcourue, exprimée en m , pendant cette seconde est :

\[ \begin{gathered} d_{R}=v \text { si } v \text { est exprimée en } \mathrm{m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} \\ d_{R}=\frac{10 v}{36} \approx 0,277 v \text { si } v \text { est exprimée en } \mathrm{km} \cdot \mathrm{~h}^{-1} \end{gathered} \]

3. Les véhicules

On considère que, sur la route, il y a \(80 \%\) de véhicules légers d'une longueur moyenne de \(4,50 \mathrm{~m}\) et \(20 \%\) de camions d'une longueur moyenne de 12 m .
Quelle est la longueur moyenne \(L\) d'un véhicule?

4. Le débit routier

Quand on fait couler de l'eau d'un robinet, le débit \(D\) du robinet est la quantité de liquide écoulée par unité de temps; le débit est donc lié à la vitesse d'écoulement.
On désire exprimer le débit routier en tenant compte des éléments précédents; pour cela, on suppose
que les véhicules circulant sur la route forment un train continu roulant à la vitesse \(v\), exprimée en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\) et que les conducteurs respectent exactement les distances d'arrêt et de réaction avec le véhicule précédent.
On veut exprimer le débit routier en nombre de véhicules par heure.
a) Montrer que, si la vitesse est exprimée en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\), le débit est donné par la formule

\[ D(v)=\frac{3600 v}{0,06 v^{2}+v+6} \]

b) Étudier les variations de \(D\) en fonction de \(v\).
c) Montrer qu'il existe une vitesse \(v_{\text {max }}\) pour laquelle le débit est maximum; préciser ce débit maximum.
On donnera les résultats en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\) puis en \(\mathrm{km} . \mathrm{h}^{-1}\) pour la vitesse et en véhicules par heure pour le débit.

5. Sur autoroute

Vous souhaitez réguler le trafic sur l'A6 entre Valence et Montélimar dans la vallée du Rhône un jour de départ en vacances. Vous savez que le débit maximal de cette portion d'autoroute à trois voies est de 3900 véhicules par heure.
Quelle vitesse conseillée allez-vous afficher sur les panneaux d'information à destination des conducteurs?

1. Distance d'arrêt

a) Le tableau complété :

\(v \mathrm{en} \mathrm{km} / \mathrm{h}\)	\(v \mathrm{en} \mathrm{m} / \mathrm{s}\)	\(d_{A}(\mathrm{en} \mathrm{m})\)	\(d_{A} / v^{2}\)
50	13,9	12,1	0,0627
90	24,93	39,1	0,0629
100	27,7	48,3	0,0629
130	36,01	81	0,0625
150	41,55	108,4	0,0628
170	47,09	139,9	0,0631

Les valeurs de la dernière colonne sont ici arrondies à \(10^{-4}\).
b) Valeur moyenne de \(C: 0,0628\) soit à \(10^{-2}\) près 0,06 .

2. Distance de réaction

Si \(v\) est exprimée en \(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\), en une seconde le conducteur a parcouru une distance de \(v \mathrm{~m}\).
Si \(v\) est exprimée en \(\mathrm{km} . \mathrm{h}^{-1}\), en une heure, soit 3600 secondes, il parcourt \(v \mathrm{~km}\), soit \(1000 v \mathrm{~m}\).
En une seconde, il aura donc parcouru \(\frac{1000 v}{3600}=\frac{10 v}{36} \approx 0,277 v \mathrm{~m}\).

3. Les véhicules

La longueur moyenne d'un véhicule est : \(0,8 \times 4,5+0,2 \times 12=6 \mathrm{~m}\).

4. Débit routier

a) On montre la formule \(D(v)=\frac{3600 v}{0,06 v^{2}+v+6}\) en expliquant que le débit, exprimé en nombre de véhicules par seconde, est lié à la vitesse et la distance (totale, somme de celle du véhicule, de la distance d'arrêt et de la distance de réaction) : \(D \times d=v\). Comme ce qui nous intéresse est un nombre de véhicules par heure, on multiplie par 3600.
b) On a

\[ D^{\prime}(v)=\frac{3600\left(0,06 v^{2}+v+6\right)-3600 v(0,12 v+1)}{\left(0,06 v^{2}+v+6\right)^{2}}=\frac{21600-216 v^{2}}{\left(0,06 v^{2}+v+6\right)^{2}} . \]

Soit \(D(v)=\frac{216\left(100-v^{2}\right)}{\left(0,06 v^{2}+v+6\right)^{2}}\).

Le tableau de variations de \(D\) est

\(v\)	0	10		\(+\infty\)
\(\operatorname{sgn} D^{\prime}(v)\)	+	0	-
\(D(v)\)		1636,6

c) Il existe une vitesse \(v_{\text {max }}\) pour laquelle le débit est maximum; cette vitesse est \(10 \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1}\), soit \(36 \mathrm{~km} . \mathrm{h}^{-1}\), et le débit est alors de 1636 véhicules par heure.

5. Sur 1 'autoroute

Le débit maximal de cette portion d'autoroute à trois voies est de 3900 véhicules par heure, donc sur une voie de 1300 véhicules par heure. On résout l'équation : \(D(v)=1300\).
Soit \(3600 v=78 v^{2}+1300 v+7800\) c'est-à-dire \(78 v^{2}-2300 v+7800=0\).
Dont les solutions sont : 25,577 et 3,910 exprimées en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\) ce qui correspond à 92,077 et 14,072 en \(\mathrm{km} . \mathrm{h}^{-1}\). On peut donc conseiller une vitesse de \(90 \mathrm{~km} . \mathrm{h}^{-1}\).