Sujet
Le rectangle ABCD a pour longueur 4 cm et pour largeur 2 cm . I et J sont les milieux de [AD] et [BC]. Dans ce rectangle sont inscrits trois cercles de même rayon \(R\), tangents entre eux et tangents aux côtés du rectangle. Calculez la valeur de R en cm .
On choisit le repère de sorte que B en soit l'origine, l'axe des \(x\) soit BC , l'axe des \(y\) soit BA en respectant les unités données.
On a alors \(\mathrm{B}(0,0), \mathrm{J}(2,0), \mathrm{C}(4,0), \mathrm{D}(4,2), \mathrm{A}(0,2), \mathrm{I}(2,2)\).
De plus, si on pose \(\mathrm{F}(R, R)\) alors \(\mathrm{E}(2,2-R)\) et \(\mathrm{G}(4-R, R)\).
Une condition nécessaire et suffisante pour que les trois cercles soient tangents deux à deux est que : \(F E=2 R\) soit que \(F E^{2}=4 R^{2}\). On aboutit à l'équation :
\[ \begin{gathered} (2-R)^{2}+(2-2 R)^{2}=4 R^{2} \\ \text { Soit : } R^{2}-12 R+8=0 \end{gathered} \]
On a \(\Delta=112\) d'où deux solutions : \(R_{1}=\frac{12-\sqrt{112}}{2} \approx 0,708\) et \(R_{2}=\frac{12+\sqrt{112}}{2}=11,29>2\) qui ne convient donc pas.
Le rayon du cercle mesure environ 0,708.