Exercice 1 — Un trapèze

Sujet

Sur la figure ci-dessus, ABCD est un rectangle et BEC est un triangle rectangle. On donne les longueurs \(A B=2\) et \(C E=1\) et on pose \(B E=x\).

1. a) Exprimez l'aire \(f(x)\) du trapèze en fonction de \(x\).
   b) Tracez la courbe de \(f\) à l'aide de votre calculatrice. Donnez, à \(10^{-1}\) près, la valeur du maximum \(M\) de \(f\) ainsi que l'abscisse \(x_{M}\) correspondante.

2. Un algorithme.

Dans le tableau ci-dessous qui décrit un algorithme, le symbole * représente la multiplication; racine représente la racine carrée; l'écriture >= représente le symbole de l'inégalité \(\geqslant\).

Variables	\(x, y, p\) sont des réels; \(n\) est un entier.
Données	\(x\) prend la valeur \(0, y\) prend la valeur \(1, p\) prend la valeur 0,01 . \(n\) prend la valeur 0 .
Algorithme	Tant que \(\left(0,5^{*} \operatorname{racine}\left(\left(1-x^{2}\right) *(x+4)^{2}\right)>=y\right.\) ) faire \(y\) prend la valeur \(0,5^{*}\) racine \(\left(\left(1-x^{2}\right) *(x+4)^{2}\right)\) \(x\) prend la valeur \(x+p\) \(n\) prend la valeur \(n+1\) fin Tant que
Sortie	Afficher \(x, y, n\)

a) Montrez que l'algorithme se termine
b) Donnez les valeurs affichées en sortie.
3. Quelques questions plus techniques.
a) Vérifiez que la dérivée de la fonction \(g\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=(x+4)^{2}\) est \(g^{\prime}(x)=2(x+4)\).
b) Étudiez les variations de la fonction \(u\) définie pour tout nombre réel \(x\) par

\[ u(x)=\left(1-x^{2}\right)(x+4)^{2} . \]