Sujet
Le jeu de dominos est traditionnellement composé de pièces composée chacune de deux cases figurant de 0 à 6 points. La règle de ce jeu, bien connu dans l'océan Indien, impose de former une chaine de dominos en posant face-à-face des cases comportant le même nombre de points.
- a) Combien le jeu comporte-t-il de pièces, sachant qu'il contient toutes les paires possibles de nombres entre 0 et 6 ?
b) En imaginant un jeu de dominos particulier, constitué de toutes les paires possibles de nombres entre 0 et 12 , combien y aurait-il de pièces?
c) Et pour des nombres de 0 à \(n\) ? - a) En attendant son petit frère pour jouer une partie, Ali s'amuse à enchaîner les dominos. Pensezvous qu'il parviendra à disposer tous les dominos dans une seule grande chaîne? Justifiez votre réponse.
b) Ali se rend compte que son petit frère a dérobé tous les dominos comprenant un 6 . Quelle est alors la plus longue chaîne qu'il puisse réaliser? Justifiez votre réponse. - Ali perd patience, et s'amuse à présent à placer les dominos debout, pour les faire basculer les uns après les autres d'une seule pichenette. Chaque domino est un pavé droit de \(0,4 \mathrm{~cm}\) d'épaisseur, de 2 cm de large, et de 4 cm de hauteur. Pour que la cascade de dominos se déroule bien, chaque domino doit frapper le suivant au moins au quart de sa hauteur. Combien faudrait-il de dominos pour faire une cascade de 1 mètre de long?
- a) \(1+2+3+4+5+6+7=28\) dominos
b) \(1+2+. .+12+13=91\) dominos
c) On peut considérer le jeu sans les «doubles», et le problème est équivalent. On peut représenter la situation à l'aide d'un graphe non orienté, ayant pour sommets les nombres de 0 à 6 , une arête reliant deux sommets correspondant au domino comportant les deux chiffres en question. Un jeu de domino complet, sans les «doubles » correspond alors à un graphe complet. - a) graphe complet à 7 sommets, connexe, dont chaque sommet est de degré 6 : possibilité de cycle eulérien.
Justification possible en exhibant un exemple, tel que :01 122334455660022446611335 5003366225511440 (et insertion des «doubles»).