Exercice 3 — Cercles tangents à une même droite

Sujet

PARTIE 1 : Cas de deux cercles

Deux cercles de centres respectifs \(\mathrm{O}_{1}\) et \(\mathrm{O}_{2}\) et de rayons respectifs \(R_{1}\) et \(R_{2}\) sont tangents entre eux et tangents en A et B à la droite ( AB ).

1. Dans cette question on suppose que \(R_{1}=9 \mathrm{~cm}\) et \(R_{2}=4 \mathrm{~cm}\).
   a) Prouver que \(O_{1} O_{2}=13 \mathrm{~cm}\).
   b) Quelle est la nature du quadrilatère \(\mathrm{AO}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{~B}\) ?
   c) c. Calculer la distance \(A B\).
2. Montrer que dans le cas général on a \(A B=2 \sqrt{R_{1} R_{2}}\).

PARTIE 2 : Cas de trois cercles

Les cercles de centres respectifs \(\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}\) et \(\mathrm{O}_{3}\) et de rayons respectifs \(R_{1}, R_{2}\) et \(\mathrm{R}_{3}\) sont tangents à une droite et tangents entre eux. On suppose de plus que \(R_{1}>R_{2}>R_{3}\).

1. Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{R_{3}}}=\frac{1}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{R_{2}}}\).