Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2013 Martinique et AEFE Amérique

Sujet

On considère un nombre entier non nul \(n\) produit de deux nombres entiers \(p\) et \(q: n=p q\).
On cherche à décomposer l'ensemble des \(n\) premiers entiers consécutifs non nuls \(1 ; 2 ; \ldots ; n\) en \(p\) parties, deux à deux disjointes (d'intersection vide) tels que :

chaque partie contient \(q\) éléments ;
la somme des éléments de chaque partie est la même.

Par exemple, la décomposition est possible pour \(n=4, p=q=2\). L'ensemble \(1 ; 2 ; 3 ; 4\) peut être décomposé en 2 parties ( \(p=2\) ) disjointes, chaque partie ayant 2 éléments ( \(q=2\) ) et la somme des éléments de chaque partie est la même : \(1 ; 4\) et \(2 ; 3\) (la somme commune est 5 ).

On suppose que \(n=12\).
a) La décomposition est-elle possible pour \(p=3\) (3 parties) et \(q=4\) (4 éléments)?
b) Même question pour \(p=4\) (4 parties) et \(q=3\) (3 éléments).
Donner une condition nécessaire portant sur \(n\) et \(q\) pour que la décomposition soit possible.
Montrer que la décomposition est possible pour \(n=972, p=81\) ( 81 parties) et \(q=12\) ( 12 éléments).

On rappelle que la somme des \(n\) premiers entiers consécutifs non nuls est donnée par la formule :

\[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

a) Comme \(12=3 \times 4\), on peut décomposer cet ensemble en 3 parties de 4 éléments. Reste à vérifier les autres conditions.
La somme des 12 premiers entiers naturels non nuls est : \(\frac{12 \times 13}{2}=78\).
De plus, \(\frac{78}{3}=26\) donc la somme des éléments de chaque partie doit être égale à 26 .
On a \(26=6,5 \times 4\) donc le milieu de la série des 12 entiers est situé entre 6 et 7 .
On compose une partie «centrale» \(5 ; 6 ; 7 ; 8\) (la somme des éléments vaut bien 26 ) puis les 2 autres parties en choisissant 2 entiers consécutifs situés de manière symétrique par rapport à cette partie «centrale».
On obtient ainsi les 3 parties suivantes : \(5 ; 6 ; 7 ; 8,3 ; 4 ; 9 ; 10\) et \(1 ; 2 ; 11 ; 12\). La décomposition n'est pas unique
b) On raisonne de même. La somme des éléments de chaque partie devrait être \(\frac{78}{4}=19,5\).Mais ce nombre n'est pas entier et ne peut représenter la somme commune.
Donc la décomposition avec \(n=12, p=4\) et \(q=3\) n'est pas possible.