Exercice 1 — Histoire de parapluies — Olympiades 2013 Martinique et AEFE Amérique

Sujet

Par un temps pluvieux, \(n\) personnes se rendent à une réunion. Elles sont toutes munies d'un parapluie qu'elles déposent dans un bac à l'entrée de la salle. On suppose que tous les parapluies sont étiquetés au nom de leur propriétaire. À la fin de la réunion, les participants récupèrent, chacun un parapluie, au hasard, les uns après les autres.

On suppose que \(n=2\).

Quelle est la probabilité que personne ne reparte avec son parapluie?
2. Même question, en supposant \(n=4\).
3. On suppose que \(n=6\).
a) Quelle est la probabilité que les deux premières personnes soient les seules à repartir, chacune avec son parapluie?
b) Quelle est la probabilité pour que seulement deux personnes repartent, chacune avec son parapluie?
4. On suppose que \(n \geqslant 3\).
a) Quelle est la probabilité que la deuxième personne soit la première à repartir avec son parapluie?
b) b. Quelle est la probabilité que la troisième personne soit la première à repartir avec son parapluie?

Faire un arbre ou lister les différentes possibilités. Cette probabilité est de \(\frac{1}{2}\).
Faire un arbre ou lister méthodiquement les possibilités. Cette probabilité est de \(\frac{9}{24}\), soit \(\frac{3}{8}\).
a) Les 2 premières personnes repartent avec leur parapluie avec une probabilité de \(\frac{1}{6 \times 5}\). Aucune des 4 autres ne repart avec son parapluie avec une probabilité de \(\frac{3}{8}\) (question précédente). Donc la probabilité recherchée est de \(\frac{1}{6 \times 5} \times \frac{3}{8}=\frac{1}{80}\).
b) Il y a \(\binom{6}{2}=15\) façons de choisir les 2 personnes repartant avec leur parapluie, et pour chaque cas une probabilité de \(\frac{1}{80}\) (question précédente).
La probabilité recherchée est : \(\binom{6}{2} \times \frac{1}{6 \times 5} \times \frac{3}{8}=15 \times \frac{1}{80}=\frac{3}{16}\).