Exercice 2 — Sommes d'entiers consécutifs

Sujet

On s'intéresse dans ce problème à la décomposition d'un nombre entier naturel sous la forme d'une somme d'au moins deux nombres entiers relatifs consécutifs.
Par exemple : 3 peut être décomposé en la somme de 2 entiers consécutifs :

\[ 1+2=3 \]

mais aussi comme somme de 6 entiers consécutifs :

\[ 3=-2+(-1)+0+1+2+3 \]

ou bien, 18 peut se décomposer comme somme de 3 entiers consécutifs :

\[ 18=5+6+7 \]

mais aussi comme somme de 36 entiers consécutifs :

\[ 18=-17+(-16)+(-15)+\cdots+17+18 \]

1. Décomposer l'entier 2013 en une somme de deux entiers consécutifs. En une somme de trois entiers consécutifs. En une somme de six entiers consécutifs.
2. Montrer que l'entier 2013 ne peut pas se décomposer en une somme de quatre entiers consécutifs.
3. L'entier 2013 peut-il se décomposer en une somme de cinq entiers consécutifs?
4. Soit \(N\) un entier naturel qui s'écrit comme somme de \(k\) entiers consécutifs.
   a) Montrer que si \(k\) est pair, \(\frac{k}{2}\) divise \(N\)
   b) Montrer que si \(k\) est impair, \(k\) divise \(N\).

On pourra utiliser le résultat : \(1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\) pour \(k \geqslant 2\).
5. Déterminer et écrire toutes les décompositions de l'entier 2013 en somme d'entiers consécutifs (On rappelle que \(2013=3 \times 11 \times 61\) )
6. Expliquer pourquoi l'entier 2048 ne possède qu'une seule décomposition en somme d'entiers consécutifs
7. Si \(N\) est un nombre entier strictement positif, \(\phi_{N}\) le nombre de diviseurs impairs de \(N\) et \(D_{N}\) le nombre de décompositions en somme d'entiers consécutifs, démontrer que :

\[ D_{N}=2 \times \phi_{N}-1 . \]