Exercice 2 — Coloriage du plan

Sujet

On se place dans le plan muni d'une unité de longueur quelconque. On colorie l'ensemble des points du plan avec un certain nombre de couleurs distinctes en respectant la condition \((\mathcal{C})\) suivante :
\((\mathcal{C})\) : La distance entre deux points de même couleur n'est jamais égale à 1 .
On étudie le nombre minimum \(N\) de couleurs nécessaires pour colorier le plan en respectant la condition \((\mathcal{C})\).

Les deux parties sont indépendantes

A - Coloriage avec des hexagones

1. On étudie la figure 1 ci-contre formée de deux hexagones réguliers de côté \(a\) (un hexagone régulier est formé de six triangles équilatéraux). Exprimer les longueurs \(A D, A E, A F, A G\) en fonction de \(a\). Montrer en particulier que \(A F=\sqrt{7} \times a\).
2. On colorie le plan avec des motifs identiques formés de 7 hexagones réguliers coloriés (Voir la figure 2). Chaque petit hexagone est entièrement colorié d'une couleur unique donnée par le numéro. Chaque numéro correspond à une même couleur. Les petits hexagones ont pour côté \(a\).
   a) Quelle est, en fonction de \(a\), la distance maximale entre deux points d'un même petit hexagone?
   b) Quelle est, en fonction de \(a\), la distance minimale entre deux points de même couleur, mais dans deux hexagones différents?
   c) Comment choisir a pour que la condition ( \(\mathcal{C}\) ) soit respectée ? Proposer une valeur pour \(a\).
   d) Que peut-on en déduire pour \(N\) ?

Figure 1

Figure 2

B - Graphe de Moser

On étudie la figure 3 (appelée graphe de Moser).
Chaque segment tracé a pour longueur 1.

1. Comment construire cette figure à la règle non graduée et au compas à partir d'un segment donné de longueur 1 ?
   (On ne détaillera pas la construction d'un triangle équilatéral à partir d'un côté donné).
2. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les points \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\) et G de manière à ce qu'il n'existe pas deux points de même couleur distants de 1 .

Figure 3

1. Que peut-on en déduire pour \(N\) ?