Exercice 1 — Triplets pythagoriciens

Sujet

Soit \(x, y\) et \(z\) trois entiers naturels non nuls avec \(x \leqslant y On dit que ( \(x ; y ; z\) ) est un triplet pythagoricien si les entiers vérifient \(x^{2}+y^{2}=z^{2}\).
L'entier \(z\) sera appelé l'hypoténuse et les entiers \(x\) et \(y\) seront appelés les cathètes.

1. Montrer qu'il n'existe pas de triplets pythagoriciens d'hypoténuse inférieure ou égale à 4 .

Montrer qu'il n'existe qu'un triplet pythagoricien d'hypoténuse \(5:(3 ; 4 ; 5)\).
2. Soit \(k\) un entier naturel non nul et ( \(x ; y ; z\) ) un triplet pythagoricien. Montrer que ( \(k x ; k y ; k z\) ) est aussi un triplet pythagoricien.
Donner un exemple de triplet pythagoricien d'hypoténuse 15 .
3. Compléter le tableau suivant avec la valeur de \(u^{2}+v^{2}\) dans les cases non grisées.

1. À l'aide du tableau, justifier qu'il n'y a que deux triplets pythagoriciens ( \(x ; y ; z\) ) avec \(z^{2} \leqslant 100\). Le tableau permet-il d'affirmer qu'il n'y a que deux triplets pythagoriciens \((x ; y ; z)\) avec \(z^{2} \leqslant 200\) ?
2. Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls tels que \(a

Montrer que le triplet de cathètes \(b^{2}-a^{2}\) et \(2 a b\) et d'hypoténuse \(z=a^{2}+b^{2}\) est un triplet pythagoricien.
6. En déduire que : si \(z\) est la somme de deux carrés d'entiers non nuls et distincts alors il existe un triplet pythagoricien d'hypoténuse \(z\).
La réciproque est-elle vraie?
7. En utilisant judicieusement le tableau, donner un triplet pythagoricien d'hypoténuse 13.
8. On étudie l'algorithme suivant :

Variables : a,b, x,y,z, entiers naturels non nuls.
pour b allant de 2 à 10 faire
    pour a allant de 1 àb-1, faire
        x prend la valeur b b - a
        y prend la valeur 2ab
        z prend la valeur a a + b 
        Afficher b,a,x,y,z et aller à la ligne
    fin
fin