Exercice 3 — Un carré remarquable — Olympiades 2013 Lille

Sujet

Partie A

Adepte du calcul mental, un professeur construit un carré mental de 4 lignes et 4 colonnes puis le remplit avec tous les nombres de 1 à 9 avant de demander à ses élèves de faire les produits par ligne et par colonne pour obtenir par exemple le résultat suivant :

4	7	2	\(\mathrm{P}=56\)
9	1	8	\(\mathrm{P}=72\)
3	5	6	\(\mathrm{P}=90\)
\(\mathrm{P}=108\)	\(\mathrm{P}=35\)	\(\mathrm{P}=96\)

Étourdi, il a oublié de recopier deux des produits et les nombres choisis pour obtenir le tableau cidessous. Proposez un tableau correspondant aux produits donnés. Y-a-t-il plusieurs solutions? Expliquez clairement votre raisonnement.

			\(\mathrm{P}=27\)
			\(\mathrm{P}=\ldots\)
			\(\mathrm{P}=70\)
\(\mathrm{P}=30\)	\(\mathrm{P}=\ldots\)	\(\mathrm{P}=168\)

Construire un tableau où le minimum des produits est supérieur ou égal à 50 et le maximum des produits est inférieur ou égal à 120. Expliquez votre démarche ;

			\(\mathrm{P}=\ldots\)
			\(\mathrm{P}=\ldots\)
			\(\mathrm{P}=\ldots\)
\(\mathrm{P}=\ldots\)	\(\mathrm{P}=\ldots\)	\(\mathrm{P}=\ldots\)

Partie B : Lecture et compréhension d'un algorithme

On considère l'algorithme suivant :

Création de la liste L1 : L1 = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
Création de la liste L2 : L2 = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
Initialiser la variable K à 1
Tant que K < 10
    Tirer au hasard un entier A entre 1 et 9
    Si L1(A) n'est pas nul
        alors
            mettre A dans L2(K)
            mettre 0 dans L1(A)
            Augmenter K de 1
    Fin du Si
    Afficher L2 et K
Fin du Tant que

Remarque : \(\mathrm{L} 1(\mathrm{~A})\) désigne le \(\mathrm{A}^{\text {ème }}\) élément de la liste L 1 . Ainsi si \(\mathrm{L} 1=[2,5,7], \mathrm{L} 1(2)=5\).
Question 1 : On exécute le programme. Compléter, à la sortie de chaque passage du tant que, l'état des variables L1, L2 et K dans le cas suivant :

	Passage 1	Passage 2	Passage 3	Passage 4	Passage 5
Variable A tirée
L1
L2
K

Quel est le rôle de cet algorithme?

Partie C : Construction d'un carré mental T

Ce professeur propose à ses élèves d'écrire un algorithme permettant d'automatiser la construction d'un carré mental noté T du même type que celui donné dans la partie A .
Les notations suivantes sont imposées :
Pour tout entier \(i\) et tout entier \(j\) compris entre 1 et \(3:\)
\(\mathrm{T}(i, j)\) est le nombre placé ligne \(i\) colonne \(j\). Ainsi dans l'exemple présenté au début du texte \(\mathrm{T}(2,3)=8\).
\(\mathrm{T}(i, 4)\) contient le produit des trois nombres situés dans les trois premières colonnes de la ligne \(i\).
\(\mathrm{T}(4, j)\) contient le produit des trois nombres situés dans les trois premières lignes de la colonne \(j\).
Sur le brouillon d'Alice on peut lire les grandes étapes de l'algorithme qu'elle propose pour construire ce carré mental :

Création et initialisation du tableau T à 0 (les 16 cases contiennent donc 0 )
Mise en place des nombres de 1 à 9 :
mélange des nombres
remplissage du tableau
Calcul des produits par ligne

Pour I allant de 1 à 3
calcul du produit de la ligne 1
........ .
stockage dans la case T(i,4)
Fin du Pour I
4) Calcul des Produits par colonne
.........
5) Afficher le tableau T

Répondre aux questions suivantes pour aider Aline à terminer son travail d'investigation.
Compléter l'algorithme pour

Mélanger les nombres entiers de 1 à 9
Remplir le tableau, c'est-à-dire placer les neuf nombres dans le tableau T.
Calculer le produit de la ligne \(i\)
Calculer les produits par colonne.

Partie C : Construction d'un carré mental (seconde méthode)

Un second élève a proposé l'idée suivante :

On construit le tableau

1	2	3
4	5	6
7	8	9
0	0	0

On procède à mille échanges entre deux cases choisies au hasard parmi celles contenant un des entiers compris entre 1 et 9 .
On calcule et stocke les produits par ligne.
On affiche le tableau.

Voici le début de l'algorithme écrit par cet élève :

Création et initialisation du tableau T à 0 (les seize cases contiennent donc 0 )

Construction du tableau initial :
Pour J allant de 0 à 2
Pour I allant de 1 à 3
Mettre I + 3J dans T (I,J+1)
Fin du Pour I
Fin du Pour J
2) Échangé des cases

Pour I allant de 1 à 1000

Fin du Pour I
3) Calcul des produits
4) Afficher le tableau T.

Expliquer dans quel ordre se remplit le tableau initial.
Compléter la partie Échange des cases.

Partie A

Tableau correspondant aux produits donnés par le professeur :

\(\mathbf{1}\)	\(\mathbf{9}\)	\(\mathbf{3}\)	\(\mathrm{P}=27\)
\(\mathbf{6}\)	\(\mathbf{4}\)	\(\mathbf{8}\)	\(\mathrm{P}=\mathbf{1 9 2}\)
\(\mathbf{5}\)	\(\mathbf{2}\)	\(\mathbf{7}\)	\(\mathrm{P}=70\)
\(\mathrm{P}=30\)	\(\mathrm{P}=\mathbf{7 2}\)	\(\mathrm{P}=168\)

Construire un tableau où le minimum des produits est supérieur ou égal à 50 et le maximum des produits est inférieur ou égal à 120. Expliquer votre démarche.
Il suffit de vérifier les calculs...

Partie B

On considère l'algorithme suivant :

Création de la liste L1 : L1 = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
Création de la liste L2 : L2 = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
Initialiser la variable K à 1MTant que K < 10
    Tirer au hasard un entier A entre 1 et 9
    Si L1(A) n'est pas nul
        alors
            mettre A dans L2(K)
            mettre 0 dans L1(A)
            Augmenter K de 1
    Fin du Si
    Afficher L2 et K
Fin du Tant que

Remarque : \(\mathrm{L} 1(\mathrm{~A})\) désigne le \(\mathrm{A}^{\text {ième }}\) élément de la liste L 1 . Ainsi si \(\mathrm{L} 1=[2,5,7], \mathrm{L} 1(2)=5\)
Question 1 :On exécute le programme. Compléter, à la sortie de chaque passage du tant que, l'état des variables L1, L2 et K dans le cas suivant :

	Passage 1	Passage 2	Passage 3	Passage 4	Passage 5
Variable A tirée	2	9	3	2	5
L1	1034567 89	1034567 80	1004567 80	1004567 80	1004067 80
L2	2000000 00	2900000 00	2930000 00	2930000 00	2935000 0
K	2	3	4	4	5

Pour I allant de 1 à 3 Pour J allant de 1 à 3
Mettre \(\mathbf{L 2 \boldsymbol{(} \mathbf{3} \boldsymbol{(} \mathbf{I} \mathbf{- 1} \boldsymbol{)}+\mathbf{J} \boldsymbol{)}\) va dans \(\mathbf{T} \boldsymbol{(} \mathbf{I}, \mathbf{J} \boldsymbol{)}\)}

Question 2 : Quel est le rôle de cet algorithme?
Cet algorithme permet de mélanger la liste des 9 premiers nombres entiers

Partie C

Répondre aux questions suivantes pour aider Alice à terminer son travail d'investigation Compléter l'algorithme pour

Mélanger les nombres entiers de 1 à 9 : il suffit de reprendre le travail précédent
Remplir le tableau, c'est-à-dire placer les neuf nombres dans le tableau T

Fin du pour J
Fin du pour I
3. Calculer le produit de la ligne i : \(\mathbf{T}(\mathbf{I}, \mathbf{1})^{*} \mathbf{T}(\mathbf{I}, \mathbf{2})^{*} \mathbf{T}(\mathbf{I}, \mathbf{3})\) va dans \(\mathbf{T}(\mathbf{I}, \mathbf{4})\)
4. Calculer les produits par colonne.

Pour J allant de 1 à 3
\(\mathbf{T}(\mathbf{1}, \mathbf{J}){ }^{*} \mathbf{T}(\mathbf{2}, \mathbf{J}){ }^{*} \mathbf{T}(\mathbf{3}, \mathbf{J})\) va dans \(\mathbf{T}(\mathbf{4}, \mathbf{J})\)
Fin du Pour J
Partie C
Un second élève a proposé l'idée suivante :

On construit le tableau

1	2	3
4	5	6
7	8	9
0	0	0

On procède à mille échanges entre deux cases choisies au hasard parmi celles contenant un des entiers compris entre 1 et 9 .
On calcule et stocke les produits par ligne.
a) Quelles sont les deux premières lignes écrites ?
b) voici un extrait de la sortie :
⋯
52212029
53163034
Quelles sont les deux lignes suivantes?
On cherche des triplets pythagoriciens d'hypoténuse 1189. On note que \(1189=29 \times 41\).
a) En utilisant la sortie de l'algorithme, donner deux triplets pythagoriciens d'hypoténuse 1189 .
b) Démontrer l'égalité \((E):\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}\).
c) Trouver un troisième triplet pythagoricien d'hypoténuse 1189.