Exercice 2 — Carrés et parabole

Sujet

Soit \(k\) un nombre réel strictement positif fixé et \(f\) la fonction définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par \(f(x)=k x^{2}\). On note \(C_{f}\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine le point noté \(\mathrm{O}_{1}\). On inscrit dans la courbe \(C_{f}\) un carré \(\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{~B}_{1}\), noté \(C_{1}\), tel que les points \(\mathrm{A}_{1}\) (d'abscisse positive) et \(\mathrm{B}_{1}\) appartiennent à la courbe \(C_{f}\) et le point \(\mathrm{O}_{2}\) à l'axe des ordonnées (voir figure 1).

Figure 1

Partie A

1. Construction du carré \(C_{1}\).
   a) Reproduire la figure 1 sur le document réponse 1 , en justifiant la construction des points \(\mathrm{A}_{1}\), \(\mathrm{O}_{2}\) et \(\mathrm{B}_{1}\).
   b) Déterminer en fonction du nombre réel \(k\) les coordonnées des points \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~B}_{1}\) et \(\mathrm{O}_{2}\).
2. Montrer que le périmètre du carré \(C_{1}\) est égal à \(4 \frac{\sqrt{2}}{k}\).
3. On inscrit par récurrence une suite de carrés dans la courbe \(C_{f}\), comme indiqué sur la figure 2 . On note \(\mathrm{O}_{n}, \mathrm{~A}_{n}, \mathrm{O}_{n+1}\) et \(\mathrm{B}_{n}\) les sommets respectifs du carré noté \(C_{n}\). Construire sur la copie le carrtée \(\mathrm{O}_{2} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{O}_{3} \mathrm{~B}_{2}\) puis déterminer les coordonnées des points \(\mathrm{A}_{2}\) et \(\mathrm{O}_{3}\).