Exercice 1 — Nombres beaucarrés

Sujet

Dans tout cet exercice on appellera «beaucarré » tout nombre qui s'écrit comme une somme d'au moins deux entiers non nuls, dont la somme des carrés est le carré d'un entier.
Par exemple, 4 est « beaucarré » car on peut écrire

\[ 4=1+1+1+1 \text { avec } 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=4=2^{2} . \]

De même, 14 est « beaucarré »car on peut écrire

\[ 14=8+6 \text { avec } 8^{2}+6^{2}=100=10^{2} . \]

1. Les beaucarrés jusqu'à 7.

a) Montrer que 5 est beaucarré.
b) Montrer que 3 n'est pas beaucarré.
c) Déterminer tous les nombres beaucarrés inférieurs ou égaux à 7 .

2. Les multiples de beaucarrés sont beaucarrés.

a) A partir de la décomposition \(4=1+1+1+1\) prouvant que 4 est beaucarré, montrer que 8 est beaucarré.
b) A partir de votre décomposition de la question 1.a) prouvant que 5 est beaucarré, montrer que 15 est beaucarré.
c) De façon générale, montrer que si \(n\) est beaucarré, alors pour tout \(k\) entier, \(k n\) est beaucarré également.

3. Détermination de tous les beaucarrés.

a) En vous inspirant de la décomposition \(4=1+1+1+1\) prouvant que 4 est beaucarré, montrer que tout entier s'écrivant \(n^{2}\), avec \(n\) un entier non nul, est beaucarré.
b) Montrer à partir de la décomposition \(16=1+1+\cdots+1\) que les nombres 14 et 12 sont beaucarrés.
c) Plus généralement, montrer que tous les nombres de la forme \(n^{2}-2 p\), avec \(p\) un entier non nul tels que \(n^{2}-2 p \geqslant \frac{n^{2}}{2}\), sont beaucarrés.
d) En déduire que tous les nombres pairs \(\geqslant 8\) et tous les nombres impairs \(\geqslant 13\) sont beaucarrés.
e) Déterminer l'ensemble de tous les nombres beaucarrés.