Sujet
BCA est un triangle rectangle en C .
\(A C=4\) et \(C B=12\).
J est un point de \([\mathrm{BC}]\) et D un point de \([\mathrm{AB}]\) tels que le triangle AJD soit un triangle équilatéral de hauteur JK.
On pose \(J C=x\).
Montrer que \(x\) est solution de l'équation du second degré : \(13^{2}+48 x-48=0\). En déduire \(x\).
Pour montrer que \(x\) est solution de l'équation du second degré \(13^{2}+48 x-48=0\),on peut calculer l'aire du triangle ACB de deux façons.
Première méthode :
Aire ACB = Aire ACJ + Aire AJB\(\frac{4 \times 12}{2}=\frac{1}{2} 4 x+\frac{1}{2} J K \times A B[1]\)
Deuxième méthode :
\(J K=\frac{1}{2} \sqrt{3} A J\) (Hauteur du triangle équilatéral AJD de côté AJ)\(A J=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+4^{2}}\) (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACJ ).
\(A B=\sqrt{4^{2}+12^{2}}=\sqrt{160}\) (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACB ).
[0pt] L'égalité [1] s'écrit
\(24=2 x+\sqrt{30\left(x^{2}+16\right)}\)
\(24-2 x=\sqrt{30\left(x^{2}+16\right)}\).
En élevant les deux membres au carré, car \(x\) est compris entre 0 et 12 et donc \(24-2 x\) est positif.
\((24-2 x)^{2}=30\left(x^{2}+16\right) \Leftrightarrow 576-96 x+4 x^{2}=30 x^{2}+480 \Leftrightarrow 30 x^{2}-4 x^{2}+96 x-96=0\)
\(26 x^{2}+96 x-96=0 \Leftrightarrow 13 x^{2}+48 x-48=0\)
Résolution de l'équation
Le discriminant
\(48^{2}-4(13)(-48)=4800\) est positif et l'équation admet deux racines : \(\frac{-48 \pm \sqrt{48^{2}-4(13)(-48)}}{2(13)}\)
Soit \(x=\frac{-24+20 \sqrt{3}}{13}\) et \(y=\frac{-24-20 \sqrt{3}}{13}\).
\(y\) est à exclure car négatif.
Il reste à vérifier que \(x\) est compris entre 0 et 12 .