Exercice 3 — Distances sur un réseau ferroviaire

Sujet

A - Dans un pays imaginaire...
Toutes les villes sont reliées par des voies de chemin de fer à la capitale P .
Il n'existe en revanche aucune liaison directe entre deux villes qui ne sont pas sur une même droite passant par P.

On note \(A B\) la distance habituelle (appelée distance euclidienne) entre deux points A et B , exprimée dans une certaine unité de longueur \(u\). La distance à parcourir pour aller de A à B en utilisant le réseau ferroviaire sera notée \(d(\mathrm{~A}, \mathrm{~B})\), elle sera dans la suite appelée distance ferroviaire.

Ainsi, la «distance ferroviaire» du point M au point B est \(d(\mathrm{M}, \mathrm{B})=M P+P B=10\), tandis que la «distance ferroviaire» du point M au point L est \(d(\mathrm{M}, \mathrm{L})=M L=3\).

1. Quelles sont, parmi les villes représentées sur la carte, celles qui sont situées à une distance ferroviaire inférieure ou égale à cinq unités de la ville L ?
2. La distance habituelle vérifie la propriété suivante:
   « Pour trois points \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C du plan, \(A C=A B+B C\) si et seulement si les points \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C sont alignés dans cet ordre ».
   
   Cette propriété est-elle vérifiée par la distance ferroviaire?

B - Une modélisation

Dans la suite, on munit le plan d'un repère orthonormé ( \(P ; \vec{i} ; \vec{j}\) ) dont le centre représente la capitale. R est le point de coordonnées ( \(2 ; 0\) ) et S est le point de coordonnées ( \(1 ; 0\) ).
On supposera dans cette modélisation que tout point du plan (et plus seulement les villes) est rélié par une ligne imaginaire au point P et, comme dans la partie A , qu'il n'existe pas de ligne entre deux points quelconques du plan non alignés avec le point P .
Enfin, par «distance», il faut toujours entendre «distance sur ce réseau ferroviaire ».

1. Cercles et disques ferroviaires.
   a) Quel est l'ensemble des points du plan situés à une distance 2 du point P ?
   b) Quel est l'ensemble des points du plan situés à une distance inférieure ou égale à 1 du point \(R\) ? Quel est l'ensemble des points situés à une distance égale à 3 du point R ?
2. Égalités de distances
   a) Quels sont les points du plan situés plus près de R que de P ?
   b) Quels sont les points du plan situés à la même distance de R que de P ?
   c) Quel est l'ensemble des points équidistants des points R et S ?